BMO 2003 ข้อ 4
 

Let f be a function from the set of non-negative integers into itself
such that for all $n\geqslant 0$
(i) $(f(2n + 1))^2-(f(2n))^2 = 6f(n) + 1$, and
(ii) $f(2n)\geqslant f(n)$
How many numbers less than 2003 are there in the image of f?

ข้อนี้สนุกดีนะ

เริ่มต้นโดย นิยาม Function ใหม่
$G(n)=f(2n+1)-f(2n)$
$H(n)=f(2n+1)+f(2n)$

จะได้ความสัมพันธ์มา
$G(n)H(n)=6f(n)+1$
$H(n)-G(n)=2f(2n)$

แนวทางคือต้องสรุปให้ได้ว่า $G(n)=1$

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้ว

THX มากเลยครับ
$G(n)=1$ ทำแบบนี้จะเพียงพอไหมครับ

นำ $(1)\times 3+1$ จะได้
$3H(n)-3G(n)+1=6f(2n)+1\geqslant 6f(n)+1=G(n)H(n)$
$-8\geqslant G(n)H(n)-3H(n)+3G(n)-9$
$8\leqslant (3-G(n))(H(n)+3)$
แต่จาก $H(n)=f(2n+1)+f(2n)\geqslant 0$ จะได้ว่า $G(n)<3$ นั่นคือ $G(n)=0,1,2$
$G(0)\rightarrow f(n)=-\frac{1}{6}$ Contradiction!
$G(2)\rightarrow f(0)=\frac{3}{2}$ Contradiction!
$G(1)\rightarrow f(0)=0,3f(n)=f(2n)=f(2n+1)-1$ และเมื่อแทนค่ากลับไปใน $(i)$ แล้วเป็นจริง

ยังมีพิมพ์ผิดบ้างนะครับ เช็คด้วยนิดนึง


อีกประเด็นก็คือ
พอถึงตรงนี้นะครับ หลายๆคนมักจะเข้าใจผิด

เราไม่สามารถแยกกรณีดูทีละค่าได้นะครับ (ยกเว้นแต่จะให้เหตุผลที่ยอมรับได้)

เพราะเราทราบแค่ว่า $\forall n,[G(n)=0\vee G(n)=1\vee G(n)=2$]

แล้วบอกว่ามี $n_0$ ที่ทำให้ $G(n_0)=0$ แล้วใช้ Contradiction จะถูกไหมครับ

#5 ได้ครับ