|
ข้อสอบ 5th TMO ณ โรงเรียนสวนกุหลาบ
สดๆร้อนๆจากโรงเรียนสวนกุหลาบ
http://b.imagehost.org/0745/IMG_0244.jpg << ข้อสอบวันแรก http://b.imagehost.org/0745/IMG_0245.jpg << ข้อสอบวันที่สอง ข้อ 2 จงหาจำนวนเต็มบวก N ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ 1.N มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะอย่างน้อย 2 จำนวน 2.$N=a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยที่ $a<b<c<d$ เป็นตัวประกอบที่มีค่าน้อยสุด 4 ตัวแรกของ N ข้อ 3 ให้ $a_n=n(n+1)$ สำหรับ all N pf ว่า $n^\frac{1}{a_1}+....+n^\frac{1}{a_2n-1}\geqslant n^\frac{a_3n+2}{a_3n+1}$ ข้อ 6 ให้ $f:R+ \rightarrow R+$ เป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้อง $(f(xy))^2=f(x^2)f(y^2)$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x,y$ ที่ $x^2y^3>2008$ pf ว่า $(f(xy))^2=f(x^2)f(y^2)$ เป็นจริง for all $x,y$ in $R+$ ภาพข้อสอบวันที่สองไม่ค่อยชัดถ้าอ่านตรงไหนไม่ได้ก็ PM มาละกันนะครับ |
ผมว่าข้อ 3 ทั้งสองวันไม่ได้ลอกนา.....:cool:
|
ข้อสามวันแรกไม่ต้องพูดถึงแล้วมั้ง
ส่วนข้อสามวันที่สอง Am-Gm แล้ว induction จบเลยครับ T_T เป็นข้อแรกที่ผมทำได้ในวันที่สองเลยครับ |
:)
:(ตัวผมเองเสียดายกับ ข้อ 2 เเละข้อ 3 วันที่ 2 มากๆครับ เสียเวลากับข้อ1 3ชั่วโมงครึ่งก็ยังไม่ออก ใช้ power of point เนอะ ข้อ 6 ยากมากครับ :) |
สวัสดีครับคุณ RJK:haha:รู้สึกว่ากลับบ้านเร็วจังเลยนะครับ
เริ่มกันด้วย Question1(Day 2) (วิธีนี้เป็นวิธีของผมเองซึ่งคิดได้หลังจากออกจากห้องสอบได้ 15 นาที T_T:cry:) กำหนดจุด $L=w\cap CM,T=PL\cap AB,H=w\cap DN,Q=PD\cap AB$ เราจะแสดงว่า $H,T,L,P$ เป็นเส้นตรงเดียวกัน เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า MN ขนานกับ OP และ MN=MP=MA โดย Power of point กับจุด M จะได้ว่า $ML\bullet MC=(MA)^2$ แต่จากที่ $MA=MP\therefore ML\bullet MC=(MP)^2$ นั่นคือ MP เป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม PLC ฉะนั้น $\angle MPL=\angle PCL$ แต่จากที่ว่า MN ขนานกับ OP จึงได้ว่า $\angle PCL=\angle BPQ\therefore \angle MPL=\angle BPQ$ ซึ่งเราจะได้ว่า $\triangle APT\cong \triangle BPQ\therefore AT=BQ$ แต่จากที่ $AN=BN$ ฉะนั้น $NT=NQ$ สมมติว่า $T'=HL\cap AB$ สังเกตว่าคอรด DH และ CL ผ่านจุดกึ่งกลางของคอรด AB (จุดN) โดย Butterfly's theorem เราได้ว่า $NT'=NQ$ แต่จากที่ $NT=NQ\therefore NT=NT'$ นั่นคือ $T=T',\therefore H,T,L,P$เป็นเส้นตรงเดียวกัน แต่จากที่ $\angle NHL=\angle PCL$ จึงได้ว่า $\angle NHL=\angle MPL$ นั่นคือ $AP$ ขนานกับ $NO$ # หมายเหตุ: มีใครทำข้อนี้ได้อีกบ้างครับ ถ้ามีช่วย POSTวิธีด้วยนะครับ THank YoU |
ยินดีกับพี่ Rose-JoKer และคุณ tatari ด้วยนะครับ :great:
ผมว่าคราวนี้ผมคงตามพี่ RoSe-JoKer หลายคะแนนเลยนะครับ :sweat: แต่ก็ยังดีที่ได้เหรียญทองเหมือนกัน :happy: |
ข้อ 3 วันแรกนี่มันคล้ายโจทย์ CMO
ที่เป็นโจทย์ longlist round 0 เลยนี่นา :sweat: วันแรก ข้อ 4 อสมการจริงสำหรับทุกจำนวนจริงครับ :cool: ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งนิยามโดย $x=\big(a-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\big)+\dfrac{b}{\sqrt{2}}i$ $y=\dfrac{b}{\sqrt{2}}+\big(c-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\big)i$ $z=a+ci$ จะได้ว่า $z=x+y$ โดย Triangle Inequality จะได้ $|z|=|x+y|\leq |x|+|y|$ The rest is trivial!!! :yum: |
ขอแสดงความยินดีกับคุณ Rose-Joker คุณ dektep แล้วก็คุณ anomus1234(เขียนถูกเปล่าเนี้ย) ด้วยนะครับที่ได้เหรียญทอง
แล้วก็สำหรับเหรียญทองคนสุดท้ายคุณ Artninja ด้วยนะครับ |
ข้อ 2 วันที่ 2 ครับ
จะต้องแสดงว่า N หารด้วย 2 ลงตัวโดยวิธีการขัดแย้ง และ N หารด้วย 4 ไม่ลงตัวโดยวิธีการขัดแย้ง ดังนั้น ตัวประกอบ 2 ตัวแรกคือ 1,2 ตัวที่ 3 จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวที่ 4 เป็น 2 เท่าของตัวประกอบตัวที่ 3 end |
ยินดีกับทุกคนด้วยครับ:great:
วันแรก ข้อ 6 ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า $-(n-1) + f(nx) \leq nf(x) \leq (n-1)+f(nx)$ ทุก $n\in\mathbb{N},x\in\mathbb{R}$ ดังนั้น $\Big|f(x)-\dfrac{1}{n}f(nx)\Big|\leq 1-\dfrac{1}{n}$ The rest is trivial!!! :yum: |
ทำไมในรูป คุณ Rose-joker ข้อ 9 วันแรกถึงตอบว่า $3^{10}-2^{10}$ ล่ะครับ:confused:
ผมทำได้ $3^{10}$ อ่ะครับ:sweat: |
ตอบคุณ owlpenguin ในข้อสอบนั้นผมทดอยู่นะครับแต่ข้อนั้นผมก็ตอบ $3^{10}-2^{10}$ ไปนั้นแหละผมไปลบกรณี A เป็นเซตว่างไป - - ผิดเลย 5 5
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=150465 << วันที่สองข้อที่สอง >>ยินดีกับพี่ Rose-JoKer และคุณ tatari ด้วยนะครับ ผมว่าคราวนี้ผมคงตามพี่ RoSe-JoKer หลายคะแนนเลยนะครับ แต่ก็ยังดีที่ได้เหรียญทองเหมือนกัน << อันนี้ผมฟลุ๊คครับ น้อง dektep โหดกว่าผมมากๆๆๆๆ อีกอย่างผมเป็นที่โหล่ค่ายด้วยครับ ส่วนเรื่องคะแนนนำผมว่าไม่ใช่หลายคะแนนหรอกครับคงไม่ถึง 3 คะแนนครับที่ห่างกันนิดเดียวเอง ปล.ผมรู้สึกว่า TMO เหมือนงาน meeting Mathcenter เลยครับ - -" ปล2.รู้สึกว่าจะมีคนบอกว่าได้วันที่ 2 ถึง 4 ข้อเลยนะครับ ว่าแต่เอ๊ะใครกันหนอออ ไซโคเก่งจัง 5 5 |
กลายเป็นไม่มีคนทำไปเลยครับ เพราะส่วนใหญ่ไปทำในห้องสอบกันมาแล้วทั้งนั้น
ขอเก็บวันแรกก่อนละกันครับ 1. ใช้ Law of Cosine ได้ $\cos{\theta}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$ 3. $x=2,5$ 5. ข้อนี้จริงสำหรับพหุนามใดๆที่มีกำลังมากกว่า $1$:cool: สมมติ $P(x)=k(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$ โดยที่ $a_i$ แตกต่างกันหมด ให้ $Q(x)=P(x+1)-P(x)-1$ จะได้ว่า $Q(x)$ เป็นพหุนามที่มีกำลังไม่เกิน $n-1$ แต่มีรากที่แตกต่างกันถึง $n$ รากคือ $a_1,...,a_n$ ดังนั้น $Q(x)\equiv 0$ เราจึงได้สมการเชิงฟังก์ชัน $P(x+1)=P(x)+1$ สมมติว่า $P(x)=a_nx^n+\cdots + a_1x+a_0, a_n\neq 0$ จะได้สัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x^{n-1}$ ของ $P(x+1)$ เป็น $\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}}$ ดังนั้น $\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}=a_{n-1}}$ $a_n=0$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้น $P(x)$ ต้องมีรากซ้ำ :yum: 7. $(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=3789+2mn$ $(m,n)+\dfrac{mn}{(m,n)}=633$ $mn=(m,n)[633-(m,n)]$ ดังนั้น $(m+n)^2=3789+2(m,n)[633-(m,n)]$ เราจึงได้ว่า $(m,n)\mid 3789=3^2\cdot 421$ แต่ $(m,n)^2\leq mn\leq\dfrac{m^2+n^2}{2}=\dfrac{3789}{2}$ ดังนั้น $(m,n)=1,3,$ หรือ $9$ แทนค่าแล้วตรวจสอบจะพบว่า $(m,n)=3$ และ $m+n=87$:yum: 8. $$2551\cdot 543^n-2008\cdot 7^n\equiv -1\pmod{3}$$ ดังนั้นเป็นกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้:yum: 9. สมมติ $B\subseteq\{1,2,...,n\}$ โดยที่ $n(B)=k,k=0,1,...,n$ เราสามารถเลือกสับเซตของ $B$ ได้ทั้งหมด $2^k$ แต่สับเซตที่มีขนาด $k$ มีอยู่ทั้งหมด $\displaystyle{\binom{n}{k} }$ สับเซต เราจึงได้ว่ามีจำนวนคู่อันดับ $(A,B)$ ได้ทั้งหมด $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k=3^n $$:yum: |
1 ไฟล์และเอกสาร
4. วันแรก
จากรูปและ law of cosine แล้วจะเจออสมการสามเหลี่ยม # :happy: |
วันที่สอง
3. $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2n-1}}=\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac{1}{2n}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{n^2}{n\cdot n+(1+2+\cdots + n)}$ (AM-HM) $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{2n}{3n+1}$ ดังนั้น $\displaystyle{n^{1/a_1}+n^{1/a_3}+\cdots+n^{1/a_{2n-1}}\geq n\cdot n^{1/n(1/a_1+1/a_3+\cdots + 1/a_{2n-1})}}$ (AM-GM) $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq n^{1+\frac{2}{3n+1}}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=n^{a_{3n+2}/a_{3n+1}}}$ :yum: |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:40 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha