My New Inequality Problem
เพิ่งคิดโจทย์อสมการได้ข้อนึง เซียนๆทั้งหลายลองคิดดูครับ
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า \[ \Large{ \frac{a}{\sqrt{2a^2+b^2+c^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}} + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}} \leq \frac{3}{2} } \] |
ใช้ Jensen's inequality :)
|
พี่ Punk พิสูจน์ยังไงครับ ผมใช้อสมการโคชีกับ AM-GM ครับ
|
อืม ถ้าใช้ Cauchy กับ AM-GM ก็ยิ่งดีสิ ใช้ Jensen มันต้องอาศัย Calculus อย่างงี้ต้องให้ nuii เฉลยก่อนจะดีกว่ามั้ง :rolleyes:
|
อืม พอจะเข้าใจแล้วครับว่าใช้ Jensen's inequality ยังไง ส่วนของผมค่อนข้างยืดยาว รอเซียนท่านอื่นๆมาคิดก่อนละกันครับ
|
อ่า รู้สึกว่าผมจะใช้ Jensen's inequality ผิดครับคุณ Punk ตอนแรกคิดว่าถูกแล้วเชียว
ตอนนี้มีทางที่จะคิดได้อีกวิธีนึงคือการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ผมยังจบไม่ลงครับเพราะไม่มีความรู้เกี่ยวกับอสมการตรีโกณเท่าไหร่ คิดว่าน่าจะออกทางนั้นได้แน่นอนครับ ข้างล่างเป็นวิธีคิดของผมครับ \[ \large{ 2a+b+c = a+a+b+c \leq 2\sqrt{2a^2+b^2+c^2} } \] \[ \large{ a+2b+c = a+b+b+c \leq 2\sqrt{a^2+2b^2+c^2} } \] \[ \large{ a+b+2c = a+b+c+c \leq 2\sqrt{a^2+b^2+2c^2} } \] \[ \large{ LHS \leq 2(\frac{a}{2a+b+c} + \frac{b}{a+2b+c} + \frac{c}{a+b+2c}) \leq 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2} } \] อสมการสุดท้ายพิสูจน์โดยการให้ A = 2a + b + c , B = a + 2b + c, C = a + b + 2c แล้วเขียน a,b,c ให้อยู่ในรูปของ A,B,C สุดท้ายจะได้อสมการง่ายๆซึ่งพิสูจน์โดยใช้ AM-GM ได้ครับ |
ผมใช้ Jensen's inequality อย่างงี้ครับ
ให้ \( f(t)=1/\sqrt{2+t}\) ซึ่งเป็น convex function ดังนั้น \[ \frac{1}{\sqrt{2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\frac{a^2 }{c^2}+\frac{b^2}{c^2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2+\frac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)}}\leq\frac{3}{\sqrt{2+2}}=\frac{3}{2} \] อสมการสุดท้ายใช้ AM-GM inequality |
ผมว่าอสมการแรกน่าจะกลับข้างมากกว่านะครับ :)
|
Oops...จริงด้วยแฮะ ผมนึกว่าใช้วิธีนี้จะสั้นขึ้น อืมสงสัยต้องใช้วิธีเดิมแล้ว เอาใว้ดูเฉลยของคนอื่นก่อน :D
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:52 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha