ข้อสอบ สอวน. ศูนย์ มอ. 2554 ^^
 

1. $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)} = \frac{1}{3}$
$\frac{(a=c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} = ?$

2. $P = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n $
$ S = 1+2+3+...+n $
n เป็นจำนวนคี่ จงพิจารณาว่า S หาร P ลงตัวหรือไม่เพราะเหตุใด

3. $ 1 + r + r^{2} + ... + r^{n-1} = \frac{r^{n} - 1}{r - 1} $ เมื่อ $r \not= 1$
จงหา 1 + 11 + 111 + ... + 11..1 (มี 1 n ตัว)

4. $ x + y + z = 2 $
$ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $
$ xyz = -3 $
แล้ว $ (xy)^{2} + (yz)^{2} + (zx)^{2} $ เท่ากับเท่าไหร่

5. $x^{2} - y^{2} = 45$
$x^{3} + x^{2}y - xy^{2} - y^{3} = 225$
จงหาจำนวนจริง x,y ทั้งหมด


เดี๋ยวค่อยมาลงต่อ na_kup ^^

6. จำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้ $n^{4} + n^{2} + 1 $ เป็นจำนวนเฉพาะ

7. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จงพิจารณาสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $ n , n^{2} - 1 \ และ \ n^{2} + n + 1 $ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมป้าน หรือ มุมแหลม โดยให้เหตุผลประกอบ

8. สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดทั้ง 3 อยู่บนเส้นรอบวงวงกลม จงหาอัตราส่วน พื้นที่วงกลม : พื้นที่สามเหลี่ยม

9. วงกลมรูปหนึ่งมีพื้นที่เท่าหกเหลี่ยมรูปหนึ่ง จงพิจารณา วงกลมหรือหกเหลี่ยมมีเส้นรอบวงยาวกว่ากัน

10. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ฐานยาวด้านละ 6 เมตร ด้านข้างเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เท่ากันทุกประการ 4 รูปมาประกอบกัน ถ้าพีระมิดนี้มีปริมาตร 48 ลูกบาศก์เมตร แล้วพื้นที่้ด้านข้างพีระมิดเป็นเท่าไหร่

ปล. ทั้งหมด 16 ข้อ เดี๋ยวค่อยเอาลงต่อ na_kup
ปล. 2 หากโจทย์ผืดพลากประการใดช่วยแก้ด้วย na_kup

ข้อ 9 หกเหลี่ยมไหมครับ (ไม่เป็นไรครับ)

ขอบคุณที่ช่วยบอก na_kup

ข้อ (1)

$\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)} = \frac{1}{3}$

$\frac{(b-c)(d-a)}{(a-b)(c-d)} = 3$

ใ้ห้ $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} = k $ จะได้

$\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} + \frac{(b-c)(d-a)}{(a-b)(c-d)} = k + 3 $

$\frac{(a-c)(b-d)+(b-c)(d-a)}{(a-b)(c-d)} = k + 3 $

$\frac{ab-ad-bc+cd+bd-ab-cd+ac}{(a-b)(c-d)} = k + 3 $

$\frac{-ad-bc+bd+ac}{(a-b)(c-d)} = k + 3 $

$\frac{-ad-bc+bd+ac}{ac-ad-bc+bd} = k + 3 $

$1 = k + 3 $ , $k = -2$

คล้ายๆข้อสอบเพชรยอดมงกุฎปีไหนซักปีนี่แหละครับ เพิ่งทำได้เมื่อเร็วๆนี้เลยจำได้

ผมพึ่งถามวันนี้เที่ยง ๆ เองครับ O_O

เป็นข้อสอบไปซะแล้ว 55+

พิจารณา $ (xy)^{2} + (yz)^{2} + (zx)^{2} = (xy+yz+zx)^2 - 2(x+y+z)(xyz)$

และ $(xy+yz+zx) = \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}$

ได้ $xy+yz+zx = 4-4 = 0$

และแล้วก็ตัน ?? สมการหายไปรึเปล่าครับ ? สามตัวแปร สองสมการ -0-

$(xy)^{2} + (yz)^{2} + (zx)^{2} = (xy+yz+zx)^2 - 2(x+y+z)(xyz)$

$(xy)^{2} + (yz)^{2} + (zx)^{2} = -2(2)(xyz) = -4xyz$

$P = n! $

$S = \frac{(n)(n+1)}{2}$

เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ กำหนดให้ $\exists k \in R $ st. $ n = 2k+1 $

ได้ $S= \frac{(2k+1)(2k+2)}{2} = (2k+1)(k+1)$

และ $P = (2k+1)! = 1*2*3*...*(k+1)*...*(2k+1)$

ดังนั้น $S | P $

ข้อหลัง ๆ นี่ส่วนใหญ่แล้วจะเป็นรูปภาพ จึงค่อยเอามาลงสำหรับรูปภาพแต่สำหรับโจทย์ที่พอจะลงได้

11. จงอธิบายการสร้างรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้วงเวียนหรือสันตรง

12. (อาศัยรูปด้วย แต่ยังไม่วาดที TT)

13. (ดูรูปด้วยเหมือนกัน)

14. กำหนดให้ พาราโบลาตัดแกน x ที่ (1,0)และ(5,0) เลื่อนพาราโบลาขึ้น 1 หน่วย พาราโบลาจะตัดแกน x ที่ (2,0)(4,0) จงพิจารณาว่าจะต้องเลื่อนพาราโบลานี้ขึ้นกี่หน่วย จึงจะทำให้พาราโบลานี้ตัดแกน x เพียงจุดเดียว

15. m และ n เป็นจำนวนเต็ม
$A = m^{2} - n^{2} $
$B = m^{3} - n^{3} $
เพิ่ม ๆ A หาร B ลงตัว
หรม. ของ A และ B คือ 7 จงหา ครน. ของ A และ B

16. จงหาจำนวนนับ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{3}$

ปล. โจทย์ที่มีรูป ถ้าใครหามาลงได้ กรุณาหน่อย na_kup :please:

พิจารณา $\frac{1}{9}(9+99+999+...+ 999...99)$ (มี 9 n ตัว)

$\frac{1}{9}[(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...+(10^n-1)]$

$\frac{1}{9}[(\frac{10(10^n-1)}{10-1} -n)]$

จัดรูปต่อก็จบครับ :happy:

ข้อนี้ก็เหมือนจะเพิ่งถามไปก่อนหน้านี้เอง จะำทำิวิธีไหนก็ได้

คูณ 3mn ตลอดสมการได้

$3n+3m = mn$

$mn-3n-3m = 0$

$(m-3)(n-3) -9 = 0$

$(m-3)(n-3) = 9 = 3 * 3$

มี(m,n) ที่เป็นจำนวนนับทั้งหมด 3 คู่ คือ $(4,12) , (12,4) , (6,6) $

ข้อ 4. ถ้ามีสมการแค่นั้นก็มีได้หลายคำตอบครับ

เช่น ถ้าสมมติให้ y = z จะเห็นได้ชัดหรือแก้ระบบสมการได้ว่า (x, y, z) = (2, 0, 0), (-2/3, 4/3, 4/3) ดังนั้น ค่าที่โจทย์ต้องการอาจจะเป็นศูนย์ หรือ มากกว่าศูนย์ก็ได้

แก้แล้ว _kup เพิ่มสมการ $$ xyz = -3 $$

$A = m^{2} - n^{2} = (m-n)(m+n)$
$B = m^{3} - n^{3} = (m-n)(m^2+mn+n^2)$

$(A,B) = 7 = m-n $ แทน m = n+7 ใน A และ B ได้

$A = 7(2n+7)$
$B = 7[(n+7)^2+(n+7)n+n^2] = 7[(n^2+14n+49+n^2+7n+n^2)] = 7[3n^2+21n+49]$

ไปต่อยังไงดีครับ ?

คำตอบก็เป็น 12 :great: