ข้อสอบ Ent มอ. ปี 2554 บางข้อ
 

เพิ่งสอบไปวันนี้ (12/11/2554) เพื่อนบางคนบอกว่ายากกว่าปีที่แล้ว บางคนบอกว่ายากเหมือนกับปี 2553
เพื่อนจำออกมาได้ไม่กี่ข้อ พอดีพรุ่งนี้มีสอบต่อ เลยถามมาแค่นี้ ข้อสอบจริงมี 32 ข้อ ช้อย 22 เติม 10
1.กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3,...,z_{14}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นรากของสมการ $(z-1)^{14}=1$
จงหาค่าของ $\left|z_1\,\right|^2+\left|z_2\,\right|^2+\left|z_3\,\right|^2 +...+\left|z_{14}\,\right|^2$
2.จงหาค่าของจำนวนจริง $a$ ซึ่งทำให้ $y$ มีค่าสูงสุด เมื่อ
$$y=\int_a^{a+1} 2011x-x^2 dx$$
3.กำหนดให้ $f$ เป็นพหุนามดีกรี $3$ ซึ่ง $f(1)=f(2)=12$ และ $f(3)=f(4)=0$ จงหาเศษจากการหาร $f(x)$ ด้วย $x-5$
4.จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการทอยลูกเต๋า $3$ ลูกพร้อมกันโดยออกหน้าไม่ซ้ำกัน ซึ่งทำให้ ผลรวมของแต้มที่ออกมีค่ามากกว่า $6$

6.จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\left|\left|2x\,\right| -1\,\right| \leqslant 3x+5$
7.กำหนดให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $[a,b]=3^2 \cdot 7^2$ และ $a+b=112$ จงหาค่าของ $\left|a-b\,\right| $
8.จงหาจำนวนวิธีในการจัด ชาย 5 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 5 ที่ โดยต้องมีชายและหญิงอย่างน้อยเพศละ 2 คน และ เพศเดียวกันต้องนั่งติดกัน
ปล.จำผิดถูกยังไงรอข้อสอบจริงออกมาละกันครับ
แก้ ข้อ 5 โจทผิด เอาออกแล้วนะครับ

พี่เนส แล้วมอ.เค้าจะแจกข้อสอบมั้ยอะ ถ้าแจก แจกวันไหน?

ไม่รู้อ่า ต้องรอประกาศผลเสร็จมั้ง

ข้อ7.ง่ายสุดครับ มองปุ๊บก็เห็นคำตอบทันทีเลย a=63 , b=49 ดังนั้น |a-b|=14

ข้อ8. แบ่งเป็นสองกรณีครับ 1. เลือกชาย2คน หญิง3คน นั่งได้ 5C2x6C3x3!2! = 2400
2. เลือกชาย3คน หญิง2คน นั่งได้ 5C3x6C2x3!2! = 1800
ดังนั้นรวมทั้งสองกรณีได้ 4200 วิธีครับ

ข้อ6. ตอบ [-6/5, infinity)

สงสัยจะจำมาผิดครับ :haha:

ข้อ4. เหมือนจะยากนะ ลูกเต๋าสามลูกออกหน้าไม่ซ้ำกันได้ 6x5x4=120วิธี
ผลรวมมากกว่า6 ก็ลบด้วยจำนวนวิธีที่ผลรวมน้อยกว่าหรือเท่ากับ6 ซึ่งมีแค่ชุด (1,2,3) สลับที่ได้ 3!=6วิธี
ดังนั้น ก็ได้คำตอบเป็น 120-6 = 114 วิธีครับ

ข้อ2 ตอบ 1005 ครับ
ข้อ6 $(-\infty ,-4]\cup [\frac{-6}{5},\infty )$ ไม่แน่ใจนะครับ

ข้อ3. จากโจทย์จะพบว่า f(x) = a(x-3)(x-4)(x-k) เมื่อ a, k เป็นจำนวนจริง
จากนั้นใช้ f(1)=12 และ f(2)=12 ตั้งสมการออกมาเพื่อแก้หาค่า a กับ k ซึ่งจะได้ว่า a=4 และ k=1/2
ดังนั้น เศษเหลือเท่ากับ f(5) = 4(5-3)(5-4)(5-1/2) = 36 ครับ

ข้อ6.สังเกตจากโจทย์ จะเห็นได้ว่า 3x+5 ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 ครับ ดังนั้น x ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ -5/3 ครับ

ข้อ2. ได้ y = -a^2+2010a+(2011/2-1/3) ซึ่งค่า a ที่ทำให้ y มีค่าสูงสุดจะเท่ากับ 1005 โดยใช้สูตร -b/2a ครับ

ข้อ1. ตอบ 28 ครับ พอดีว่า พิมพ์ไม่เก่งครับ ข้อนี้เลยเขียนวิธีคิดให้ดูไม่ไหว

ข้อ 1
$z_k=1+cos\frac{k\pi}{7}+isin\frac{k\pi}{7}$
$|z_k|^2=|(1+cos\frac{k\pi}{7}+isin\frac{k\pi}{7})|^2=4cos^2\frac{k\pi}{14}$
พิจรณา
$|z_1|^2+|z_6|^2=|z_2|^2+|z_5|^2=|z_3|^2+|z_4|^2=4$
และ
$|z_{13}|^2+|z_8|^2=|z_{12}|^2+|z_9|^2=|z_{11}|^2+|z_{10}|^2=4$
และ
$|z_7|^2=0$
และ
$|z_{14}|^2=4$
$\therefore |z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_{14}|^2=28$

รบกวนช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อย มายังไง ขอบคุณค่ะ

ข้อ 6 โจทย์ถามผลต่างที่มากที่สุดของคำตอบ ใช่ไหมค่ะ มึนๆๆ

สำหรับ #16

ก็มาจากที่ $(z-1)^{14}=1$ แสดงว่า $z-1=\cos \frac{2k \pi}{14} + i \sin \frac{2k \pi}{14}$ ยังไงล่ะครับ

เข้าใจแล้วขอบคุณมากค่ะ

ข้อ 4 ผมคิดได้ 19 วิธี
ผมคิดเหมือนว่ามีสลากเลข 1 ถึง 6 วางไว้ในกล่องแล้วหยิบมาทีละ 3 ใบ หยิบได้ $\binom{6}{3} =20$ วิธี
หักออกหนึ่งวิธีที่ได้เลข $(1,2,3)$ เหลือวิธี $ 19$ วิธี
ที่คิดมาก่อนหน้านั้นของคุณbell มันเกิดการนับซ้ำเพราะมองว่าทั้งสามลูกคือ ลูกหนึ่ง ลูกสอง ลูกสาม คือ $(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$ ทั้งหกแบบนั้นต่างกัน ซึ่งโจทย์บอกว่าทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน ดังนั้นจึงออกมาเป็นแบบเดียวคือ $(1,2,3)$
คำตอบที่คุณbell คิดได้ตอนท้ายสุดลองเอา $3!$ ไปหารดูสิครับ จะได้คำตอบเท่ากันเลย