ทฤษฏีจำนวน
 

x,y เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบของสมการ $y^x=x^{2552}$

ลองวิธีแบบว่า

วิเคราะห์ตัวประกอบซ้ายขวาแล้วแบ่งเคสบ้างหรือยังครับ

ทำไปถึงตรงไหนแล้ว :wub:

x = y = 2552

มี solution ไหมครับ :great: ...

ปล. ขาด $(1,1)$ ไปอีกตัวนะ

ได้แล้วครับ วิเคราะว่า 2552 ต้องหารด้วยxลงตัวแล้วกรณีที่ x ถอดรูทลงตัว ได้17คำตอบครับ:rolleyes:

ผมยังอ่อนหัดครับ 555

ได้ 17 คำตอบเลยเหรอครับ

แสดงวิธีทำให้ดูหน่อยสิครับ

ใช่แบบที่ $y=(x^{2552})^{\frac{1}{x}}$

แล้วดู $x$ ที่เป็นตัวประกอบของ 2552 หรือเปล่า ...

-------------------------------------------------------

คือเหตุผลที่บอกว่า "2552 ต้องหารด้วย x ลงตัว" อะครับ

มันยังมี $(x,y)=(2^4,4^{319})$ ที่เป็นคำตอบอยู่ แต่ $2^4$ ก็หาร 2552 ไม่ลงนะ

เพราะงั้นประเด็นคือการให้เหตุผลว่า 2552 ต้องหารด้วย $x$ ลงตัวอะ มันให้ solution ออกมาทั้งหมดหรือเปล่า

ทีแรกผมก็นึกว่ามีแค่ $(1,1) , (2552,2552)$ แต่ยังไม่หมดแค่นี้ วิธีทำผมมันถึกเลยตัดทิ้งไปก่อน :laugh:

กรณี 1 $x\geqslant y$ ได้เป็น $y=x^{\frac{2552}{x}} $แล้วดูตัวประกอบของ 2552 ครับว่าx อะไรบ้างที่หารลงตัว แล้วก็พิจารณา ที่xถอดรูทลงตัว แล้วกรณี คร่าวๆนะครับ (1,1) (2,2^1276),(4,4^638),(8,8^319),(11,11^232),(22,22^116),(44,44^58),(88,88^29),(29,29^88),(58,58^44),(116,116^22),(232,232^11),(31 9,319^8),(638,638^4),(1276,1276^2),(2552,2552),(16,2^638)

ที่ผมจะสื่อคือ เหตุผลที่บอกว่า $x$ ต้องหาร 2552 ลงตัวอะครับ ไม่มันจริงเสมอไป

อย่างตรงสีแดงคือ $x=16$ แต่ 16 ก็หาร 2552 ไม่ลง

และ ถ้า $x=16$ ค่าของ $x^{\frac{1}{x}}$ ก็ใช่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มบวก

เหตุผลที่บอกว่าแค่ดู $y=x^{\frac{2552}{x}}$ แล้วมาสรุปคำตอบเลยแบบนั้น

มันยังไม่น่าจะเพียงพอที่จะเป็น proof ได้น่ะสิครับ

-----------------------------------------------

ที่ทำแบบนี้ได้พอดี ผมเดาว่าเพราะเลขมันไม่ใหญ่มาก (แนวปีพ.ศ.)

เพราะว่า $2552=2^3*11*29$ มันเลยใช้วิธีแบบนี้ไล่จนครบได้ไง

ถ้าเปลี่ยนตัวเลขให้ใหญ่ขึ้นอะแบบ $2^3*3^7*5^3*11$

หรือพวกแนวๆที่เลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะที่คูณๆกันดันใหญ่ขึ้นมาหน่อย

การไล่กรณีแบบนั้นคำตอบก็น่าจะไม่ครบครับ

แต่กรณี 2552 มันไม่ซับซ้อนมากไง ก็เลยทำแบบนั้นแล้วได้ ลองคิดตามดูสิครับ