รบกวนช่วยพิสูจน์เรื่องกรุปวัฏจักรให้หน่อยค่ะ ใกล้สอบแล้ว
 

1. กำหนดให้ G เป็นกรุปซึ่งมีกรุปย่อยเพียง 2 กรุปย่อยคือ G และ {e} เท่านั้น ( e คือสมาชิกเอกลักษณ์ของ G )
จงพิสูจน์ว่า G เป็นกรุปวัฏจักรและ |G| เป็นจำนวนเฉพาะ

2. กำหนดให้ G เป็นกรุปวัฏจักรที่มี a เป็นตัวก่อกำเนิดและ |G| = n ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m|n จงพิสูจน์ว่าจะต้องมีกรุปย่อย H ของ G ที่ |H| = m

3.กำหนดให้ G เป็นกรุป และ a,b เป็นสมาชิกของ G โดยที่ a*b = b*a ถ้า O(a) = m และ O(b) = n โดยที่ห.ร.ม.ของ m และ n เท่ากับ 1 จงพิสูจน์ว่า O(a*b) = mn


ขอบคุณมากๆค่ะ:please:

1. ให้ $a\neq e$ จากเงื่อนไขโจทย์ เนื่องจาก $<a>\neq\{e\}$ จะได้ทันทีว่า $<a>=G$

ดังนั้น $G$ เป็น cyclic group แยกพิจารณาเป็นสองกรณี

1. $G$ infinite เป็นไปไม่ได้ เพราะว่า $<a^2>$ จะเป็น proper subgroup

2. $G$ finite สมมติว่า $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $|G|$

โดย Cauchy's Theorem จะมี $x\in G$ ซึ่ง $o(x)=p$

แต่จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ทันทีว่า $<x>=G$

ดังนั้น $|G|$ เป็นจำนวนเฉพาะ

2. ให้ $H=<a>$ ก็จบแล้วล่ะลองไปดูนิยามของ $<a>$

ขอรบกวนอีกนิดนึงนะคะ
คือ ไม่เข้าใจข้อ2.เลยค่ะ

ถ้าเราให้ H = <a> จะได้ว่า |H| = n เราก็จะพิสูจน์ได้แค่ว่า มีกรุปย่อย H ที่ |H| หาร n ลงตัว

แต่จากโจทย์เขาน่าจะให้เราพิสูจน์ว่า
ทุกจำนวนเต็มบวก m ใดๆก็ตามที่หาร n ลงตัว จะต้องมีกรุปย่อย H ของ G ที่ |H| = m เสมอ ไม่ใช่หรอคะ
หรือว่าเราเข้าใจอะไรผิดไป

ยังไงก็รบกวนช่วยอธิบายเพิ่มเติมให้หน่อยนะคะ

คุณ nooonuii คงพิมพ์ตกไปครับ

$\displaystyle{H=<a^{\frac{n}{m}}>}$

3. สมมติว่า $(ab)^k=e$
รู้ว่า $ab=ba$ ดังนั้น $(ab)^k=abab...ab=a^kb^k$
จึงได้ $a^kb^k=e$

ยกกำลัง $m$ ทั้งสองข้าง $(a^kb^k)^m=e$
ได้ $a^kb^ka^kb^k...a^kb^k=e$ นั่นคือ $a^{km}b^{km}=e$
เนื่องจาก $a^m=e$ ได้ $b^{km}=e$
เพราะฉะนั้น $n|km$ แต่ $(m,n)=1$ ดังนั้น $n|k$
ในทำนองเดียวกัน จะได้่ $m|k$
ดังนั้น $mn|k$ ซึ่งแปลว่า $k\ge mn$

สุดท้ายแสดงว่า $(ab)^{mn}=e$ ก็จบแล้วครับ

ใช่ครับ ตอนนั้นรีบก็เลยคิดว่า $a$ เป็น generator ของ $H$ ไปซะนี่

ขอบคุณมากครับ

ขอบคุณทุกคนมากค่ะ

ถ้าโจทย์พิมพ์ไม่ตกละก็ คงต้องตอบอีกแบบใช่มั้ยครับ