|
ปัญหาทฤษฎีจำนวนคาใจ
เพิ่งได้อ่านหนังสือทฤษฎีจำนวนของโครงการสอวน.ครับเลยจำได้ว่ามีโจทย์ปัญหาคาใจอยู่ข้อนึงที่ solve (ด้วยวิธีธรรมดา) ไม่ได้ซักที เลยเอามาถามดูเผื่อว่าใครจะมีวิธีพิสูจน์ง่ายๆมาแลกเปลี่ยนครับ
โจทย์ ให้ a,b เป็นจำนวนนับซึ่ง a|b2, b2|a3,a3|b4,... จงพิสูจน์ว่า a = b ถ้า a = 1 หรือ b = 1 เห็นได้ชัดว่าจริง สมมติว่า a,b>1 ให้ p เป็นตัวประกอบเฉพาะของ a จะได้ว่า p|a และ a|b2 ดังนั้น p|b2 ซึ่งจะได้ว่า p|b ในทำนองเดียวกัน ถ้า q เป็นตัวประอบของ b เราจะได้ว่า q|b2 และ b2|a3 ดังนั้น q|a3 ซึ่งจะได้ว่า q|a ดังนั้น a และ b มีตัวประกอบเฉพาะชุดเดียวกัน สมมติให้ \[ \Large{ a = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}} }\] \[ \Large{ b = p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\dots p_{k}^{b_{k}} } \] เนื่องจาก a2n-1|b2n ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า \[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \] ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1 ดังนั้น \( \Large{ a_{i} \leq b_{i} } \) ทุกค่า i นั่นคือ a|b ..........................(#) เนื่องจาก b2n|a2n+1 ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า \[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \] ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1 ดังนั้น \( \Large{ b_{i} \leq a_{i} } \) ทุกค่า i นั่นคือ b|a ..........................(##) เพราะฉะนั้น a = b :mad: |
Easy Problem:
Let d=gcd(a,b). Then \[ \frac{a}{d}\Big|\left(\frac{b}{d}\right)^2d\Longrightarrow\frac{a}{d}\Big|d. \] Similarly, get \((a/d)^3|d,(a/d)^5|d,\ldots\) and so on. Hence \( a=d\), that is \( a|b \). Let \( b=ka\). Then one has from the \( 2,4,6,\ldots \)'th equations that \[ k^2|a,k^4|a,\ldots \] and so on. This is the case if and only if \( k=1\). Done. |
วิธีการแก้ของผมแบบมั่วๆครับ
จากโจทย์ ดังนั้น \(a<b^2<a^3<b^4...\) กรณีที่ \(a<b\) จะต้องมีค่า \(n\) ที่ทำให้ \(b^n > a^{n+1} \) แต่ \(b^n|a^{n+1}\) เกิดข้อขัดแย้ง กรณี \(b<a\) ก็เช่นเดียวกันครับ |
Wow, very nice solution, gools, indeed.
|
ขอบคุณคร้าบบบ
ได้เพิ่มมาอีกสอง nice and rigorous solutions :) |
พี่ noonuii ครับ ไม่ทราบว่า พี่หาซื้อหนังสือสอวน.ที่ไหนหรอครับ ผมหามะเจอเลย หรือว่าหามะดีหงะครับ แบบว่าเดินแต่ตามห้างอะครับ ร้านพวกแพร่ se-ed ไรพวกนี้จามีไหมอะครับ หรือว่าต้องหาตามศูนย์หนังสือใหญ่ๆอย่างเดียว
|
พี่ซื้อที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ครับ ไม่ทราบเหมือนกันว่ามีวางขายที่ไหนบ้าง แต่ไปที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯแล้วไม่ค่อยพลาดหนังสือแนวนี้เลยไปบ่อยครับ :)
|
ครับผม ไว้ผมฝากเพื่อนไปดูละกาน แหะๆ ผมมะค่อยว่างไปไหน
|
ถามคุณ gools หน่อยนะครับ จากคำตอบ น่ะครับ ที่บอกว่า กรณีที่ a < b จะต้องมีค่า n ที่ทำให้ b^{n} > a^{n+1} พิสูจน์ให้ดูหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ
|
เทค log เข้าไป ก็หาค่า n ได้ครับ
|
ทำอย่างนี้ได้มั้ย...
ให้ a = p1a1p2a2...pkak และ b = p1b1p2b2...pkbk เมื่อ p1, p2, p3, ... pk เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ปรากฎใน a หรือ b สำหรับ 1ฃiฃk ใดๆ จะได้ว่า aiฃ2biฃ3aiฃ4bi... (จาก a | b2, b2 | a3 ...) ถ้า ai = 0 จะได้ bi = 0 นั่นคือ ai=bi ถ้า ai น 0 จะได้ว่า ai > 0 เราได้อสมการต่อไปนี้เป็นจริงทุกๆ n ฮ Z+ (2n-1)/2n ฃ bi/ai ฃ (2n+1)/2n...(*) สมมติว่า bi/ai > 1 จะได้ว่ามี k ฮ Z+ ซึ่ง bi/ai = 1 + 1/k แต่โดย archimedean property เราได้ว่ามี n0 ฮ Z+ ซึ่ง n0 > k/2 ดังนั้นจะได้ว่า 1 + 1/k > 1 + 1/2n0 ขัดแย้งกับ * ซึ่งเป็นจริงทุกจำนวนนับ ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า bi/ai < 1 ไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น bi/ai = 1 นั่นคือ bi = ai เราจึงได้ว่า ai = bi ทุกๆ 1ฃiฃk นั่นคือ a = b |
อ้างอิง:
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \] สองบรรทัดนี้มาจากใหนอ่ะครับ |
มาจาก $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ ครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ถ้า $a_n\leq b_n$ ทุกค่า $n$ และลิมิตของทั้งคู่หาค่าได้แล้ว $$ \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n $$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:55 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha