ช่วยอสมการข้อนี้หน่อยครับ
ให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนบวก แล้วจงพิสูจน์ว่า $\frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geqslant \frac{3}{8} $
|
โดยไม่เสียสาระสำคัญ ไห้ $a\geqslant b\geqslant c ได้เป็น 2a\geqslant a+b \rightarrow 8a^3\geqslant (a+b)^3 \rightarrow a^3/{(a+b)}^3\geqslant 1/8 $
|
อ้างอิง:
$f$ มันไม่ sym นิครับ มันสมมติให้เรียง 3 ค่าทีเดียวไม่ได้ แบบ $a \geq b \geq c$ แบบนี้ไม่ได้ อย่าง $f(a,b,c)$ มีค่าไม่เท่ากับ $f(b,a,c)$ จะสมมติแบบ sym ได้ value ของ function มันต้องเท่ากันทุก $f(a,b,c),f(b,a,c),...$ ทุกๆการเรียงสับเปลี่ยนของ $(a,b,c)$ สิครับ ซึ่ง มีได้ $3!$ จริงมั้ย...? |
ใช้ power mean แล้วพิสูจน์อันนี้แทน
$$ \frac{a^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2}{(c+a)^2} \geqslant \frac{3}{4} $$ |
ดูเร็วไปครับ ลืม แหะๆ:please:
|
AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ
|
อ้างอิง:
ที่พิมพ์มามันกลับข้างนิครับ ------------------------------------------------------------ ปล.ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ ไอเดียเรียบง่ายและสวยมากเลย ผมคิดไปไกลถึงเอกลักษณ์แปลกๆ sos เทือกๆนั้น กลายเป็นถึกไปเลย :blood: |
ไม่กลับ นิครับ?
|
อ้างอิง:
$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{1}{8}$ คูณไขว้ $8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$ ...กลับนะ... ปล.โจทย์ข้อนี้ไม่ง่ายนะครับ ดูดีๆ |
$a^3/{(a+c)}^3+b^3/{(b+c)}^3+c^3/{(c+a)}^3\geqslant 3abc/(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 3/8 $ ไม่ได้หรอครับ :wacko:
|
อ้างอิง:
สำหรับเครื่องหมายอสมการ ถ้าขี้เกียจพิมพ์คำว่า \geqslant พิมพ์แค่ \geq ก็พอครับ ส่วนที่ถามมา ลองดูดีๆสิครับ $\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{8}$ อสมการคู่ขวาสุดอะครับ มันกลับข้าง เพราะมันได้เป็น $8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$ ซึ่งจริงๆแล้ว $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ ถึงจะถูกครับ ถ้าทำไปทำมาแบบนี้แล้วได้อสมการกลับข้าง ถือว่าผลลัพธ์ที่เราได้มามันหลุดขอบของอสมการ เรียกกันสั้นๆว่า Bound เกินนั่นแหละครับ หมายความว่า เราบีบอสมการได้ไม่ sharp พอ ไม่ดีพอนั่นเอง คล้ายๆกับว่า โจทย์ให้พิสูจน์ $5 \geq 4$ แล้วทำไปทำมาได้ $5 > 3$ จากนั้นไปสรุปว่า $3 \geq 4$ ซึ่งกลับด้าน หมายความว่า 3 หรือค่า Bound 3 ที่ได้มา มีความ sharp ไม่สู้อสมการที่โจทย์อยากได้คือ $5 \geq 4$ แต่ถ้าหากทำดี หรือ sharp พอ ได้เป็น $5 > 4.5$ แล้วสรุปว่า $ 4.5 \geq 3$ แบบนี้ถึงจะถูกครับ ก็เลยได้ $5 > 4.5 \geq 3$ ด้วย มันเป็นเรื่องของความ sharp ของอสมการครับ ตรงนี้ต้องระวัง |
ขอบคุณมากๆๆครับ ผมยังไม่ค่อยเก่งเท่าใหร่ สงสัยทำเร็วไป ไช่กลับข้างจริงๆด้วย
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:35 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha