ข้อสอบแข่งขันความเป็นเลิศด้านคณิตศาสตร์
 

1. นาฬิการเรือนหนึ่งจะตีบอกเวลา เมื่อเข็มสั้นกับเข็มยาวทำมุมกัน 180 องศาจากเที่ยงวันถึงเที่ยงวันพรุ่งนี้ นาฬิกาจะดังกี่ครั้ง

2. 1234567891011121314151617181920... อยากทราบว่าตัวเลขโดดลำดับที่่ 2553 คือตัวเลขใด

3. ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 10 ลูก สีขาว 9 ลูก สีเหลือง 7 ลูก สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก จะต้องหยิบบอลอย่างน้อยกี่ลูก จึงมั่นใจได้ว่ามีลูกบอลสีเดียวกันอย่างน้อย 3 ลูก

4. ถ้า 2010+2010+2010+2010+...+2010 ( 2010 จำนวน) = $2010^{n}$ จงหาผลบวกของเลขโดดใน n

5. 8 สามารถเขียนในรูปเลขยกกำลังสามคือ $8= 2^{3} $, 64 สามารถเขียนในรูปเลขยกกำลังสามคือ $ 64= 4^{3} $ แล้วจำนวน $1.25 x 10^{n} $ จะสามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสามเมื่อ n มีค่าเท่าใด

6. ค่าของ ($\frac{1 + 2}{3}$ + $ \frac{4 + 5}{6}$ + $ \frac{7 + 8}{9}$ + ...+ $ \frac{2002 + 2003}{2004}$) + (1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{668}$) เท่ากับเท่าไร



คิดไม่ออกครับ

นาฬิกาเรือนหนึ่งจะตีบอกเวลา เมื่อเข็มสั้นกับเข็มยาวทำมุมกัน 180 องศา

แปลว่า เวลาอื่นนาฬิกาจะไม่ตีบอกเวลา

1 ชั่วโมง เข็มสั้นกับเข็มยาวทำมุมกัน 180 องศา 1 ครั้ง

24 ชั่วโมง เข็มสั้นกับเข็มยาวทำมุมกัน 180 องศา 24 ครั้ง

ตอบ นาฬิกาจะดัง 24 ครั้ง

8 + 8 + 8 + 8 + 8 ( 5 จำนวน) = 5 x 8

8 + 8 + 8 + 8 + ...+ 8 ( 8 จำนวน) = 8 x 8 = $8^2$

2010+2010+2010+2010+...+2010 ( 2010 จำนวน) = 2010 x 2010 = $2010^2$ = $2010^{n}$

$n =2$

ตอบ ผลบวกของเลขโดดใน n = 2

$ 1.25 \times 10^{2} = 125 = 5^3 $

$n = 2$

ถ้าหยิบ 3 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก

ถ้าหยิบ 4 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก

ถ้าหยิบ 5 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก

ถ้าหยิบ 6 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก

ถ้าหยิบ 7 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก

ถ้าหยิบ 8 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก สีขาว 2 ลูก สีแดง 1 ลูก

ถ้าหยิบ 9 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก สีขาว 2 ลูก สีแดง 2 ลูก

ถ้าหยิบ 10 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก สีแดง 2 ลูก

ถ้าหยิบ 10 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก สีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก

ถ้าหยิบ 10 ลูก อาจเป็น สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก สีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก

ตอบ จะต้องหยิบบอลอย่างน้อย 10 ลูก

อันนี้ไม่ชัวร์ เดี๋ยวกินข้าวแล้วมาดูใหม่ครับ

1 ถึง 9 มีเลขโดด 9 จำนวน

10 -99 มีเลขโดด 2 x 90 = 180 จำนวน

100 - 887 มีเลขโดด 3 x 788 = 2364 จำนวน

2364+180+9 =2553

จำนวนสุดท้ายที่เขียนคือ 887

ตอบ ตัวเลขโดดลำดับที่่ 2553 คือตัวเลข 7

($\frac{1 + 2}{3}$ + $ \frac{4 + 5}{6}$ + $ \frac{7 + 8}{9}$ + ...+ $ \frac{2002 + 2003}{2004}$) + (1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{668}$)

($\frac{3 }{3}$ + $ \frac{9}{6}$ + $ \frac{15}{9}$ + $ \frac{21}{12}$ + ...+ $ \frac{4005}{2004}$) + (1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{668}$)

($\frac{1 }{1}$ + $ \frac{3}{2}$ + $ \frac{5}{3}$ + $ \frac{7}{4}$ + ...+ $ \frac{1335}{668}$) + (1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{668}$)

($\frac{2-1 }{1} + \frac{4-1}{2} + \frac{6-1}{3} + \frac{8-1}{4} + ...+ \frac{1336-1}{668}) + (1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3}+...+\frac{1}{668}$)


$(2 -\frac{1 }{1}) + (2 -\frac{1 }{2})+ (2 -\frac{1 }{3}) + (2 -\frac{1 }{4}) +...+ (2 -\frac{1 }{668})+ (1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3}+...+\frac{1}{668})$

$ = (2+2+2+ ... + 2)$ 668 จำนวน

$= 2 \times 668 = 1336$

อันเนื่องมาจากโจทย์ข้อ1.มี2ประเด็นขอหารือครับ
1.เราจะนับเที่ยงวันนี้และเที่ยงวันพรุ่งนี้รวม2ครั้งหรือนับเที่ยงวันของวันใดวันหนึ่งเพียงครั้งเดียว
2.ถ้านับเที่ยงวันเพียงครั้งเดียวจำนวนครั้งที่นาฬิกาตีผมนับได้เพียง22ครั้งครับ(ถ้าทุกครั้งที่เป็นเส้นตรงตี1ครั้ง)
หมายเหตุใน24ชั่วโมงเข็มยาวและเข็มสั้นตั้งฉากกัน44ครั้งและเป็นเส้นตรงเดียวกัน22ครั้งครับ
(หนังสือที่พิมพ์ขายและอาจารย์บางท่านมักตอบ48กับ24ครับ..)
ถ้ามีเวลาจะนำโจทย์ข้อที่หนังสือเฉลยไว้ไม่ถูกต้อง(ในความคิดของผม)ทยอยมาลงเพื่อขอคำแนะนำครับ

เริ่มนับเวลา --> เที่ยงวันวันนี้ นาฬิกายังไม่ตี

ตีครั้งแรก ตอน เที่ยงวันกว่าๆ

ตีครั้งที่ 2 ตอน 13น. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 3 ตอน 14 น. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 4 ตอน 15 น.กว่าๆ

ตีครั้งที่ 5 ตอน 16 น.กว่าๆ

ตีครั้งที่ 6 ตอน 18 น. ตรง

ตีครั้งที่ 7 ตอน 19 น.กว่าๆ

ตีครั้งที่ 8 ตอน 20 น.กว่าๆ

ตีครั้งที่ 9 ตอน 21 น. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 10 ตอน 22 น. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 11 ตอน 23 น. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 12 ตอน เที่ยงคืน. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 13 ตอน ตี 1. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 14 ตอน ตี 2. กว่าๆ

ตีครั้งที่ 15 ตอน ตี 3 กว่าๆ

ตีครั้งที่ 16 ตอน ตี 4 กว่าๆ

ตีครั้งที่ 17 ตอน 6 โมงเช้า

ตีครั้งที่ 18 ตอน 7 โมงเช้า กว่าๆ

ตีครั้งที่ 19 ตอน 8 โมงเช้า กว่าๆ

ตีครั้งที่ 20 ตอน 9 โมงเช้า กว่าๆ

ตีครั้งที่ 21 ตอน 10 โมงเช้า กว่าๆ

ตีครั้งที่ 22 ตอน 11 โมงเช้า กว่าๆ

หลังจากนั้นถึงเที่ยงของอีกวัน ก็หมดเวลาแล้วครับ

สรุป ตอบ 22 ครั้ง

ถูกตามที่คุณFurry ทักท้วง

:please: ขออภัยด้วยครับ

ข้อ 2 ทำยังไงครับ

ดู #6 ครับ

ขอปรับปรุงวิธีทำของคุณ banker ให้ดูง่ายขึ้น (คงไม่ว่ากัน)

เลข 1 หลัก คือเลข 1 ถึง 9 มีเลขโดดทั้งหมด 9 จำนวน

เลข 2 หลัก คือเลข 10 ถึง 99 มีเลขโดดทั้งหมด 2 x 90 = 180 จำนวน

เลข 3 หลัก คือเลข 100 ถึง 999 มีเลขโดดทั้งหมด 3 x 900 = 2700 จำนวน

2700+180+9 = 2970 > 2553 แสดงว่าอยู่ในชุดเลข 3 หลัก

ต้องการหาเลขโดดในหลักที่ 2553 ต้องหักเลข 1 และ 2 หลักออกก่อน แล้วหารด้วย 3 ดังนี้

$(2553-9-180)\div 3 = 788 เศษ 0$ คือเลขหลักหน่วยของชุดสามหลักจำนวนที่ 788

ชุดสามหลักจำนวนที่ 788 คือเลข 788+99 = 887

ดังนั้น ตัวเลขโดดลำดับที่่ 2553 คือตัวเลข 7 :D