อสมการครับ
 

ช่วงนี้กระทู้เงียบๆน่ะครับ
Let $a,b,c>0$ Prove $$\frac{1}{2a^2+5ab+2b^2}+\frac{1}{2b^2+5bc+2c^2}+\frac{1}{2c^2+5ca+2a^2}\ge \frac{3}{(a+b+c)^2}$$

จากอสมการของนายโฮเดอ จะได้ว่า

$$[\sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b)(2b+a)}][\sum_{cyc} (2a+b)][\sum_{cyc}(2b+a)]\geq [\sum_{cyc} 1]^3$$

$$[\sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b)(2b+a)}][3\sum_{cyc} a][3\sum_{cyc} a]\geq [\sum_{cyc} 1]^3$$

$$[\sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b)(2b+a)}]\geq \frac{27}{9(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}$$

AM GM แล้วใช้
$(a+b+c)^3>=(2a+b)(2b+c)(2c+a)$

วิธีง่ายๆเขาทำกันหมดแล้ว ผมจะทำอะไรดีล่ะที่นี้

$\displaystyle \sum \dfrac{1}{2a^2+5ab+2b^2} \geq \dfrac{4}{9}\sum\dfrac{1}{(a+b)^2}$

$\geq \dfrac{4}{9} \dfrac{9}{(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)}$

$\geq \dfrac{4\cdot 3}{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}$

$=\dfrac{3}{(a+b+c)^2}$

#2,#3,#4 สุดยอดครับ เเต่ผมว่าอ. nooonuii น่าจะพิมพ์ผิดดตรงบรรทัด 3 นะครับ :great:

แก้แล้วครับ

strong กว่าก็มีนะ :great:

$$\sum \frac{1}{2a^2+5ab+2b^2} \geq \sum \frac{4(a+b)^2}{9(a+b)^4-4ab(a+b)^2+16a^2b^2} \geq \frac{4}{9} \sum \frac{1}{(a+b)^2} \geq \frac{1}{ab+bc+ca} \geq \frac{3}{(a+b+c)^2}$$

มัน bound ให้ชิดกันได้หลายแบบ เลยมีหลาย solution :rolleyes:

แบบนี้ได้ไหมครับผมพึ่งหัดนะ
LHS >= 9/[4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)]
= 9/(4(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)) >= 9/(3(a+b+c)^2) = 3/(a+b+c)^2

เอผมว่ามันมีที่ไหนซักที่ที่อสมการมันกลับข้างอยู่ บรรทัดไหนนะ

บรรทัด 2 ไป 3 ครับ
รบกวน อ.หนุ่ยตั้งโจทย์ต่อเลยครับ

Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=3$
Prove that $$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}$$

ไม่มีใครเล่นเลยเหรอครับ งั้นผมเล่นเองนะ :yum:

$\dfrac{a}{a^2+1}-\dfrac{1}{a^4+1}-(a-1)=-\dfrac{a^3(a^2+a+1)(a-1)^2}{(a^2+1)(a^4+1)}\leq 0$

ดังนั้น

$\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\leq \dfrac{1}{a^4+1}+\dfrac{1}{b^4+1}+\dfrac{1}{c^4+1}+(a-1)+(b-1)+(c-1)$

$\hspace{6.3cm}=\dfrac{1}{a^4+1}+\dfrac{1}{b^4+1}+\dfrac{1}{c^4+1}$

ผมลองหัดแต่งนะครับ ง่ายไปขออภัยครับ

$x,y,z >0 , x+y+z=1$ จงแสดงว่า $$(x+y)(y+z)(z+x) \leq \dfrac{8}{27}$$

ทีแรกนึกว่ามุกนะครับเนี่ย :laugh:

มันอาจจะง่ายเกินไป AM-GM บรรทัดเดียวหลุดเลยนิ

ง่ายก็ไม่เป็นไรครับ โจทย์ยากก็คือโจทย์ง่ายหลายๆข้อมารวมกัน

ถ้าคิดโจทย์ง่ายได้แล้ว ต่อไปก็จะคิดโจทย์ที่ยากขึ้นได้เองครับ :great:

ตัวอย่างเช่น จากโจทย์ข้อนี้อาจจะถามใหม่ว่า

$x,y,z >0 , x+y+z=1$ จงแสดงว่า $$\sqrt{3xyz}\leq xy+yz+zx \leq \dfrac{8}{27}+xyz$$