กำลังสองสมบูรณ์
 

จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุด ที่ (2000n+1)(2008n+1) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ :):)

ให้จำนวนที่เป็นกำลังสองคือ k

จะได้ $2000\cdot 2008n^2 + 4008n \ = \ (k-1)(k+1)$

$8n(502000n+501) \ = \ (k-1)(k+1)$

ลองพิจารณาดูดีๆ จากความรู้สึกผมผมคิดว่าแทน n = 501 น่าจะ work

ผมอธิบายไม่ถูกอ่ะครับ

ถ้าแทนไป จะได้ $8(501)(501)(502001) \ = \ (251001)(8)(502001)$

$4(251001)(2)(502001) \ = \ (1004004)(1004002)$

แสดงว่า ถ้าแทน n = 501 จะได้ k = 10004003

ผมยังไม่รู้นะครับว่าจะมีน้อยกว่านี้มั๊ย แต่เป็นผมคงจะตอบไปแล้วอ่ะครับ

รู้สึกเป็นโจทย์ สสวท2551 ข้อที่ 1 รึเปล่าอ่ะครับ ผมจำได้ว่าโจทย์ทันบอกว่าให้หาค่าที่มากที่สุดไม่ใช่เหรอครับ :cool: แต่ถ้าเข้าใจผิดก็ขอโทดด้วยละกันคัรบ :please:

หา (2000n+1,2008n+1)=(2000n+1,8n)=1
ดังนั้น เเต่ละตัวต้องเป็นกำลังสองสัมบูรณ์
คือ $2000n+1=p^2$
$2008n+1=q^2$
ลบกันได้ 8n=(q-p)(q+p)
หาต่อไป...

ผมคิดว่าน่าจะต้องเริ่มจาก (an+1)((a+8)n+1)=k^2

แล้วจัดรูปได้ [(a+4)n+1]^2=k^2+(4n)^2

จากผลเฉลยของสมการพีทาโกรัส

คือ (2xy)^2+(x^2-y^2)^2=+(x^2+y^2)^2 เทียบกันแล้ว

จะได้ว่า n=(a+4)/4 ซึ่ง a=2000 จะได้ว่า n=501 ครับ

ผลเฉลยของสมการพีทาโกรัส มันเกี่ยวข้องยังไงคับ
ไม่เข้าใจช่วยอธิบายด้วยคับ

คือสมการ $(2xy)^2+(x^2-y^2)^2=(x^2+Y^2)^2$
เทียบกับ $k^2+(4n)^2=[(a+4)n+1]^2$
ก็จะได้คำตอบครับ

ให้ $2xy=4n$ และ $x^2+y^2=(a+4)n+1$
เราให้ $y=1$ จะได้ $x=2n$ และจาก$x^2+y^2=(a+4)n+1$
จะได้ $4n^2+1=(a+4)n+1$ หรือ $4n^2=(a+4)n$
$ n=(a+4)/4$

โจทย์ข้อนี้อยู่ใน สพฐ รอบระดับประเทศด้วยนะครับ
น่าจะตอบ 501 อะครับ ถ้ามีเวลาว่างแล้วจะแสดงวิธ๊ทำนะครับ

หลังจากที่ผมติดใจกับข้อนี้และศึกษามาพอสมควรในที่สุดผมก็แก้ได้:sung:
$$2000n+1=x^2$$
$$2008n+1=y^2$$
$$n=\frac{x^2-1}{2000}$$
$$n=\frac{g^2-1}{2008}$$
$$\frac{x^2-1}{2000}=\frac{y^2-1}{2008}$$
$$2008x^2-2008=2000y^2-2000$$
$$2008x^2=2000y^2+8$$
$$251x^2=250y^2+1$$
$$x^2=\frac{250y^2+1}{251}$$
$$x^=\sqrt{\frac{250y^2+1}{251}}$$
$$\frac{251y^2-(250y^2+1)}{251}=\frac{y^2-1}{251}$$
$$\frac{y^2-1}{251} =8n$$
เนื่องจาก n เป็นจำนวนเต็มบวกจะได้
$$y^2-1\equiv0(mod251)$$
$$y^2\equiv1(mod251)$$
$$y\equiv -1,1(mod251)$$
$$y\equiv -1(mod251)$$
$$y_0\equiv 250(mod 251)$$
$$y= 250+251t,t \in Z$$
จากการแทนค่าเราจะได้ t=3 เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่จะทำไห้ $$\frac{250y^2+1}{251}$$ เป็นจำนวนเต็ม
เราจะได้ $y=1003$
$x=1001$
$n=501$

$Let\;(2000n+1)=x^2;(2008n+1)=y^2\to$
$n=\frac{x^2-1}{2000}=\frac{y^2-1}{2008}\to251x^2=250y^2+1\quad if \;y=x+d\to$
$251x^2=250(x+d)^2+1=250x^2+500xd+250d^2+1\to 0=x^2-500xd-250d^2-1\to$
$ x=\frac{500d\pm\sqrt{250000d^2+1000d^2+4}}{2}=\frac{500d\pm\sqrt{251000d^2+4}}{2}$
$Let\;d=2\to x=\frac{500*2\pm\sqrt{25100*4+4}}{2}=500\pm 501=1001\to y=x+d=1001+2=1003$
$n=\frac{x^2-1}{2000}=\frac{1001^2-1}{2000}=501$