เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น 2555
 

มีใครไปสอบกันบ้างค่ะ ได้คะแนนเป็นยังไงกันบ้างค่ะ
1.ถ้า พหุนาม $x^2 - x + 1 = 0$ แล้ว $x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} + 1 = ?$
(จำช้อยส์ไม่ได้ 555+)

2.ถ้าพายเรือขาไปทวนน้ำใช้เวลา 84 นาที ขากลับพายเรือตามน้ำใช้เวลาน้อยกว่าพายเรือในน้ำนิ่ง 9 นาที แล้วขากลับจะใช้เวลาเท่าใดได้บ้าง (มี 2 คำตอบนะค่ะ) ระยะทางขาไปและขากลับเท่ากัน

ถ้าใครจำข้อสอบได้ก็ช่วยเอามาลงด้วยนะค่ะ :)
*ปล.โจทย์ที่ให้มาอาจผิดพลาดได้ คนที่สอบด้วยกันช่วยตรวจดูให้หน่อยนะค่ะว่าถูกรึเปล่า

1.ถ้า พหุนาม$ x^2-x+1=0$ แล้ว $x^9+x^-9+x^6+x^-6+x^3+x^-3+1=?$

จาก $x^2=x-1$

$x^3=x(x-1)=x^2-x=(x-1)-x=-1$

$x^6=(x^3)^2=(-1)^2=1$

$x^9=(x^3)^3=(-1)^3=-1$

$\therefore x^9+x^-9+x^6+x^-6+x^3+x^-3+1=-1-1+1+1-1-1+1=-1$

$x^2-x+1=0$----->$x+\frac{1}{x}=1$
$(x+\frac{1}{x})^3=1$
$x^3+\frac{1}{x^3}=-2$

$$x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^3+x^{-3}+1=(x^9+\frac{1}{x^9})+(x^6+\frac{1}{x^6})+(x^3+\frac{1}{x^3})+1$$ $$=(x^3+\frac{1}{x^3})^3-3(x^3+\frac{1}{x^3})+(x^3+\frac{1}{x^3})^2-2+(x^3+\frac{1}{x^3})+1$$ $$=(x^3+\frac{1}{x^3})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})^2-2(x^3+\frac{1}{x^3})-1$$ $$=-1$$

เอ๊ะ ผมทำผิดตรงไหนอ่ะครับ:please:

ตรงนี้ไงครับ

ตายๆๆๆๆๆ:blood::blood::blood::blood:
ช่วงนี้เป็นไรเนี่ย คิดผิดบ่อยมากเลย เซงงงงงง:haha:

ขอบคุณท่าน lek2554 อีกครั้งครับ:please:

พายน้ำนิ่ง = a กิโลเมตรต่อนาที

กระแส = b กิโลเมตรต่อนาที

ทวนน้ำ ได้ระยะทางเท่ากับ 84(a-b) กิโลเมตร

พายน้ำนิ่งใช้เวลา 84(a-b)/a นาที

พายตามน้ำใช้เวลา 84(a-b)/a+b นาที

จะได้สมการ

84(a-b)/a+b = [84(a-b)/a] -9

แก้สมการแล้วได้
a : b = 4 : 3 ---> ตามน้ำ 12 นาที
a : b = 7 : 1 ---> ตามน้ำ 63 นาที

ขอบคุณคุณ banker ข้อนี้เราคิดไม่ได้ในห้องสอบอะ TT_TT อีกข้อนึงๆๆ ช่วยเฉลยหน่อยนะ
เป็นเศษส่วนอะ หนึ่งส่วนเอ หนึ่งส่วนบี ไปจนถึงหนึ่งส่วนอี (ห้าตัว) บวกกันได้ 1 เขาให้หา a+b+c+d+e ที่น้อยที่สุดอะ (Latex อ่อนมาก ขออภัย ใครอ่านเข้าใจช่วยพิมพ์แก้ให้หน่อยละกันเนอะ TT_TT) ตอนที่เราไปสอบอะ เซ็งกะการคิดเลขผิดของตัวเองมากเลย แงๆๆๆ ทำไงถึงจะหายคิดเลขผิดได้ล่ะ แนะนำเราหน่อยสิ TOT

โจทย์น่าจะมีกำหนดเงื่อนไขว่า $a\not= b\not= c\not= d\not= e$ ด้วย

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 1$

$\frac{1}{24} + \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{6}{24} + \frac{12}{24} = 1$

$\frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$

a+b+c+d+e = 24+12+8+4+2 = 50

ป๊าดด เราไปตอบ 72

ที่คุณbanker เฉลย มันไม่มีช้อยส์อ่าค่ะ เห็นมี 37 38 71 72 ถ้าจำไม่ผิดนะ O_O เราตอบ 71 อะ แต่เพื่อนเราทำได้แบบคุณ banker นี่แหละ เอ้อ ลืมบอกไปค่ะ a b c d e เป็นจำนวนนับที่แตกต่างกันจริงๆด้วย ขอโทษค่ะ

คุณมือใหม่หัดแก้โจทย์ทำคะแนนได้ดีไหมค่ะ

1.$x^2-x+1=0$
$\therefore x^3 = -1$
$x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} + 1 = -1-1+1+1-1-1+1 = -1$

2. ให้ S = ระยะทาง
$\frac{S}{x-y} = 84.....(1)$ , $\frac{S}{x+y}= \frac{S}{x} - 9..........(2)$
ได้ $\frac{S}{x}-\frac{S}{x+y} = 9 $
$ Sy = 9x^2+9xy .......(3) $
จาก $(1)$ แทน ใน $(3)$
ได้ $84xy-84y^2 = 9x^2+9xy $
$9x^2-75xy+84y^2 = 0$
$3x^2-25xy+28y^2 = 0$
$(3x-4y)(x-7y) = 0 $
ไ้ด้$ x = \frac{4y}{3} ,7y$
แทน $x$ ไป ใน $(1) $
$Case I : x =\frac{4y}{3} $
จะได้ $S = 28y $
ดังนั้น $t = \frac{28y}{\frac{7y}{3}} = 12 $นาที
$Case II ; x =7y$
ได้ $S = 84(6)y$
ดังนั้น $ t= \frac{84(6)y}{8y} = 63 นาที $

มี $4$ ช้อยครับ $38,67,71,72$

คุณ Euler-Fermat แสดงให้ดูหน่อยได้มั้ยคะ T_T

น่าจะเป็นงี้มั้งครับ $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}=1$

a+b+c+d+e = 71