เตรียมสอบสมาคมคณิตศาสตร์ (24 พ.ย.2556)
 

เล่นเหมือนมาราธอนครับ โดยใครตอบได้ก็ตั้งข้อต่อไปเรื่อยๆ

1.กำหนด $sinA+sinB=\frac{6}{5}$ และ $cosA+cosB=\frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $sin(A+B)$

$sinA+sinB=2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})=\frac{6}{5}$
$cosA+cosB=2cos(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})=\frac{3}{2}$

หารกันได้ $tan(\frac{A+B}{2} )=\frac{4}{5}$
$tan(A+B)=\frac{2\cdot \frac{4}{5} }{1-(\frac{4}{5} )^2}=\frac{40}{9}$
จาได้ $sin(A+B)=\frac{40}{41}$

2. กำหนด $a_1=1,a_2=1, a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ เมื่อ n เปนจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1
จงหาค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{a_n}{(a_{n-1})(a_{n+1})}$

$$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{a_n}{(a_{n-1})(a_{n+1})}$$

$$=\frac{a_2}{a_1a_3}+\frac{a_3}{a_2a_4}+...$$

$$=\frac{a_2}{a_1(a_1+a_2)}+\frac{a_3}{a_2(a_2+a_3)}+...$$

$$=[\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1+a_2}]+[\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2+a_3}]+...$$

$$=[\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_3}]+[\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_4}]+...$$

$$=2$$

3.กำหนด $f(x+f(y))=x+y-2013$ จงหา $f(2556)$

แทน x เป็น 0 ก็หลุดแล้วนะครับ

เขียนเป็นวิธีทำครับ ตอบแบบนี้ไม่ได้

ผมทำเรื่องพวกนี้ไม่ค่อยเป็นนะ เห็นคนโพสเเทนนู่นนี่เเล้วก็มีหลายท่านชอบบอกว่าเเทนไม่ได้ ผมก็ขอทำไปเลยละกัน 55

$$เเทน x=-f(y) ; f(0)=-f(y)+y-2013$$
$$เเทน y=0 ; f(0)=\frac{-2013}{2}$$
$$จะได้ f(x)=x-2013+\frac{2013}{2}$$
เเล้วก็เเทน 2556

แทนxด้วยf(y)
f(y+f(y))=y+f(y)-2013
แทนy+f(y)ด้วยk
f(k)=k-2013
f(2556)=543

เสนออีกไอเดียละกัน

ผมทำแบบนี้ครับ

แทน $x=2556-f(2556)$ และ $y=2556$

$f(2556-f(2556)+f(2556))=2556-f(2556)+2556-2013$

$f(2556)=3099-f(2556)$

ดังนั้น $f(2556)=1549.5$

จงหา$\sum_{n = 1}^{2556}\sqrt{256+\frac{256}{n^2}+\frac{256}{(n+1)^3-n(n+1)^2} }$

3. กำหนด
$a_1=1+5$
$a_2=1+5+9$
$a_n=1+5+9+13+..+(4n+1)$ ถ้า $k$เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $a_k=231$
จงหา $\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(a_n-2n^2) \,dx $

ดูใหม่นะคับ

$231=\frac{k}{2}[2+(k-1)(4)]$

แก้สมการได้ $ k=11$

จาก $a_n=\frac{n}{2}[2+(n-1)(4)]$

$$\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(\frac{n}{2}[2+(n-1)(4)]-2n^2) \,dx $$

$$=\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(-n) \,dx $$

$$=-\int_{0}^{k}\frac{x(x+1)}{2} \,dx $$

$$=-\int_{0}^{k}\frac{x^2+x}{2} \,dx $$

$$=-\frac{1}{2}[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]\left|\,\right. x=0,x=k$$

$$=-\frac{1}{2}[ \frac{11^3}{3}+\frac{11^2}{2}]$$

$=16\sum_{n = 1}^{2556}(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} +1) $
$=16(2556+\frac{2556}{2557} )$