Mathcenter Contest Round 2/2010 Longlist
ขออนุญาตตัดมาแต่คำถามที่ส่งมาแต่ไม่ได้ใช้แข่งนะครับ ที่เหลือรบกวนไปดูโจทย์ในกระทู้โจทย์นะครับ
ขอบคุณครับ 1. ถ้าเขียน$$\frac{54}{19} = w + \frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$$ แล้ว จงหาค่าของ $\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$ เมื่อ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนนับ (เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง) 2. นำตัวเลข 50 ตัวจากเซต ${1 , 2 , 3 , ... , 100}$ มารวมกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น $2010$ จำเป็นจะต้องใช้เลขคู่อย่างน้อยที่สุดกี่ตัวจึงจะสำเร็จ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 1. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน $AB=AC$ ซึ่งมีจุด$D$อยู่ภายในโดยที่มุม$DBC=DCB=10^O$ และมีจุด $E$ อยู่ภายในเช่นกัน โดยมุม$ECB=30^0$ และมุม$EBC=20^0$ แล้ว จงหามุม $ADE$ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 2. ถ้า$\sqrt{3(12)(21)(30)+6561} =a$ และ $x^2-y^2=a$ เมื่อ x,y เป็นจำนวนนับแล้ว จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $xy$ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 3. กำหนดให้ $m^{m-n}=n^{243}$ และ $n^{m-n}=m^{27}$ เมื่อ $m>n$ จงหาค่าของ $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 4. กำหนดให้ $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ และ$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$ เมื่อ $x\not= 0$ แล้วจงหาค่าของ $x+y$ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 1. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $a,b$เป็นอนันต์ที่ทำให้ $(2010a+1)(2010b+1)$เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) 2. กำหนดให้ $f(x)=\frac{1}{1-x}$ และ $f^2(x)=f(f(x))$ จงหาค่าของ $f^{2010}(2010)$ (เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย) ปล. ช่วงนี้ยุ่งจัดบวกติดบอลโลก อาจจะได้เริ่มตรวจคำตอบช้าหน่อย แต่ตรวจแน่นอนครับ |
อ้างอิง:
Gives $21 = x$ Then We get $\sqrt{x(x-9)(x+9)(x-18)+6561} = a$ $\sqrt{(x^2-9x)(x^2-9x-162)+6561} = a$ Gives$ x^2-9x= Y$ $Y-81 = a$ $x^2-9x-81 = a$ $21^2 - 9*21 - 81 = a$ $a = 171$ $14^2 - 5^2 = 171$ $xy = 70$ |
อ้างอิง:
$\frac{54}{19} = 2 + \frac{16}{19} = 2 + \dfrac{1}{\frac{19}{16}}$ $= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{3}{16}}$ $= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{\frac{16}{3}}}$ $= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{ 5 + \frac{1}{3}}} = w + \dfrac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$ $x = 1, \ \ y = 5, \ \ z = 3, \ \ w = 2$ .....(*) $\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$ $= \displaystyle{3 + \frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}$ $=3\frac{3}{17}$ |
อ้างอิง:
อันนี้ยังไม่ได้ตรวจสอบ คิดคร่าวๆ เราก็พยายามใช้เลขคี่แยะๆ (จะได้ครบ 50 ตัว) 1+3+5+7+....+83 +85 +87 +74 = 2010 มี 45 ตัว แตก 74 เป็นเลขคู่ 6 ตัว ให้ได้ 74 เช่น 44+2+4+6+8+10 เดี๋ยวมาดูต่อ...... ว่าจะสามารถลดจำนวนคู่ได้อีกไหม |
อ้างอิง:
$x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}} = \sqrt{y+x} $ $x^2 = y+x$ ......(*) $y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}} = \sqrt{x +y} $ $y^2 = x+y$ ...(**) (*)=(**) $ \ \ \ \ x^2 = y^2$ $x = y$ แทนค่า $y$ ใน (*) $x^2 = x+x = 2 x$ $x\not= 0 \ \ \ \ x \ \ $หารตลอด $x = 2 ---> y = 2$ $x+y = 2 +2 = 4$ |
1 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
หลวงปู่บอกให้ตอบ 40 ไปก่อน ดูท่าทางหลวงปู่ก็ไม่มั่นใจเหมือนกัน :haha: Attachment 3223 |
อ้างอิง:
ข้อนี้ยังทำไม่ได้ แต่ถ้าให้เติมคำตอบ ก็จะตอบว่า $n^9m-m^4+m^3n-n^{10} =0$ ด้วยเหตุผลว่า คำตอบไม่น่าต้องติดค่าตัวแปร ถ้าจะเป็นตัวเลข ก็น่าจะเป้น 0, 1, 2 ซึ่งโดยทั่วไปน่าจะเป็นอย่างนั้น แต่เมื่อมามองๆดู ถ้า $m= n^3$ ลองแทนค่าดูก็จะได้ $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$ เดี๋ยวพิสูจน์ได้แล้วจะมาบอก :haha: 14:07 1/7/2553 มาทำต่อ จาก $n^{m-n}=m^{27}$ $(n^{m-n})^9= (m^{27})^9 = m^{243}$ $(n^9)^{m-n} = m^{243}$ $n^9 = m^{\frac{243}{m-n}}$ $(n^9)^{27} = n^{243}= (m^{\frac{243}{m-n}})^{27} = (m^{\frac{27\times243}{m-n}}) = m^{m-n}$ จะได้ $(\frac{27\times243}{m-n}) = m-n $ $ \ \ (m-n)^2 = 243 \times 27 = 3^2 \times 27^2 = 81 ^2$ $m-n = 81$ แทนค่า $81$ ใน $m^{m-n}=n^{243}$ จะได้ $m^{81}=n^{243}$ $m = n^{\frac{243}{81}} = n^3$ แทนค่า $m = n^3$ ใน $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ จะได้ $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$ ในที่สุด ความพยายามของเราก็สำเร็จ :haha: |
สุดยอดจริงๆครับ
มีวิธีไหนอีกมั้ยครับ |
มาร่วมเฉลยกันนะครับ เริ่มจาก ประถม
อ้างอิง:
ข้ออ้าง จากโจทย์ สี่เหลี่ยมคางหมูมีพื้นที่ $\frac{1}{2}\times 10 \times (8+12) = 100 $ ตารางซม เมื่อมาต่อกันจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ 200 ตารางเซนติเมตร โดยมีพื้นที่แบ่งเป็น 5 ส่วนเท่าๆกันดังรูป พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นพื้นที่แรเงาเท่ากับ $\frac{3}{5} \times 100 = 60 $ ตารางเซนติเมตร |
อ้างอิง:
$x = 27, \ \ y = 45$ ความยาวรอบรูป = $2(5x +x + y) = 12x + 2y = 12(27) + 2(45) = 324 +90 =414$ หน่วย |
อ้างอิง:
1111111111 นับได้ 1 วิธี แบบที่2 เก็บหนึ่งเม็ดบ้างสองเม็ดบ้าง 211111111 นับได้ 9 วิธี 22111111 นับได้ 28 วิธี 2221111 นับได้ 35วิธี 222211 นับได้ 15 วิธี รวม 87 วิธี แบบที่ 3 เก็บทีละ 2 เม็ด 22222 นับได้ 1 วิธี รวมๆก็ได้ 1 + 87 + 1 = 89 วิธี หรืออีกวิธีแบบประถมๆ ใช้การสังเกต ถ้าลูกแก้วมีแค่ลูกเดียว จะมีวิธีเก็บ 1 วิธี (1) ถ้ามีลูกแก้ว 2 ลูก จะมีวิธีเก็บ 2 วิธี (1,1)(2) ถ้ามีลูกแก้ว 3 ลูก จะมีวิธีเก็บ 3 วิธี (1,1,1)(1,2)(2,1) < --- 1+2 = 3 ถ้ามีลูกแก้ว 4 ลูก จะมีวิธีเก็บ 5 วิธี (1,1,1,1)(2,2)(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2) < --- 2+3 = 5 ถ้ามีลูกแก้ว 5 ลูก จะมีวิธีเก็บ 8 วิธี (1,1,1,1,1)(1,1,1,2)(1,1,2,1)(1,2,1,1)(2,1,1,1)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2) < --- 3+5 = 8 ถ้ามีลูกแก้ว 6 ลูก จะมีวิธีเก็บ 13 วิธี .... < --- 5+8 = 13 ถ้ามีลูกแก้ว 7 ลูก จะมีวิธีเก็บ 21 วิธี ... < --- 8+13 = 21 ถ้ามีลูกแก้ว 8 ลูก จะมีวิธีเก็บ 34 วิธี ... < --- 13+21 = 34 ถ้ามีลูกแก้ว 9 ลูก จะมีวิธีเก็บ 55 วิธี ... < --- 21+34 = 55 ถ้ามีลูกแก้ว 10 ลูก จะมีวิธีเก็บ 89 วิธี ... < --- 34+55 = 89 |
อ้างอิง:
พจน์ที่ 1 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 1^3-1^2+1-1 = 0 $ พจน์ที่ 2 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 2^3-2^2+2-1 = 5 $ พจน์ที่ 3 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 3^3-3^2+3-1 = 20 $ พจน์ที่ 4 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 4^3-4^2+4-1 = 51$ พจน์ที่ 5 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 5^3-5^2+5-1 = 104 = x$ . . . พจน์ที่ 9 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 9^3-9^2+9-1 = 656 = y$ . . พจน์ที่ 12 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 12^3-12^2+12-1 = 1595 = z$ $x^2-2y+z = 104^2 - 2(656) + 1595 = 10816 -1312 + 1595 = 11099$ ตอบ ค่าของ $x^2-2y+z = 11099$ |
อ้างอิง:
$ \frac{1}{4}(\frac{4}{1\times5} + \frac{4}{5\times9} + \frac{4}{9\times13} + ... + \frac{4}{(4n-3)(4n+1)}) = \frac{24-2}{90} = \frac{11}{45}$ $\frac{1}{4} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{13}) + ... + (\frac{1}{(4n-3)} - \frac{1}{4n+1})] = \frac{11}{45}$ $\frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1}) = \frac{11}{45}$ $ \frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1} = \frac{44}{45}$ $1 - \frac{44}{45} = \frac{1}{4n+1}$ $\frac{1}{45} = \frac{1}{4n+1}$ $45 = 4n+1$ $n = 11 \ \ \ Ans.$ |
อ้างอิง:
(ทีหลังก็ติด GPS ไว้ที่คอลิงด้วยซิครับ จะได้ไม่ต้องเสียเวลาหา) :haha: |
มาช่วยแปะคำตอบข้อของผมล่ะกัน
ข้อ6. ประถม 1340 วัน ข้อ6. ม.ต้น 2010 ข้อ7. ม.ต้น 2554 ข้อ8. ม.ต้น 3333 ข้อ9. ม.ต้น 174 ข้อ10. ม.ต้น 543 ตารางหน่วย ข้อ11. ม.ต้น 1009 หน่วย ข้อ12. ม.ต้น 999888 ข้อ13. ม.ต้น 2896 ข้อ1. วิธีทำม.ต้น $\sqrt{\frac{2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}$ ข้อ2. วิธีทำม.ต้น 731 ข้อ3. วิธีทำม.ต้น $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ข้อ4. วิธีทำม.ต้น 40 องศา ข้อ5. วิธีทำม.ต้น 15 องศา ถามจริงๆจากใจ ข้อ12. ม.ต้นใครแอบใช้แคลมั่งเอ่ย ข้อ11.ม.ต้นกับพวกเรขา ใช้ตรีโกณกันแหลกลานชัวร์ป๊าป 100% |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:36 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha