มาราธอน ค่าย 1
 

พี่อยู่ ม.5 เลยกลัวๆ ยังไงไม่รู้ (ปีสุดท้ายแล้ว) เลยมาช่วยกันหาโจทย์แล้วทำที่จะเข้าค่าย 1 กันดีกว่าเนอะ(เอาแค่ขอบเขคค่าย 1 นะ)

1. จงแก้สมการ $(x+1)^5+(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^{2}(x-1)^{3}+(x+1)(x-1)^{4}+(x-1)^{5}=0 $

2. จงหาค่าของ n ซึ่ง สอดคล้องกับสมการ

$ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} $

3. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}= 1$ จงหาค่าของ x

4. จงหา (x,y,z) จากระบบสมการ

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1$

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1$

1. ให้$ A = x+1 , B = x-1$
จะได้ $(x+1)^5+(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^{2}(x-1)^{3}+(x+1)(x-1)^{4}+(x-1)^{5}=0 : A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$
$A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$
$A^5+B^5+AB(A^3+B^3)+A^2B^2(A+B) = 0$
$(A+B)(A^4+A^2B^2+B^4) = 0$
$(A+B)(A^2-AB+B^2)(A^2+AB+B^2) = 0$
$(A+B)[(A+B)^2-3AB][(A+B)^2-AB] = 0 ........(1)$
$A+B = 2x แทน ใน (1) $
ได้ $(2x)(x^2+3)(3x^2+1) = 0$
$\therefore x = 0 $

2. $ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} $
จากผลบวกเรขาคณิต
$ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n} = \frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3}$
$4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$
$\frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$
$(-2)^{n+1} - 1 = 4^{2011} -1 $
$(-2)^{n+1} = 2^{4022} $
$\therefore n = 4021$

3.$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}= 1$
$x^2+(4-\sqrt{3}x)^2 = x^2(4-\sqrt{3}x)^2 $
กระขายออกมาจัดรูป ได้$ 3x^4-8\sqrt{3}x^3+12x^2+8\sqrt{3}x-16 = 0$
$3x^4-2\sqrt{3}x^3-6\sqrt{3}x^3+12x^2+8\sqrt{3}x-16 = 0 $
$\sqrt{3}x^3(\sqrt{3}x -2)-6\sqrt{3}x^2(\sqrt{3}x-2)+8(\sqrt{3}x-2) = 0$
$(\sqrt{3}x-2)(\sqrt{3}x^3 -6\sqrt{3}x^2+8) = 0$
$(\sqrt{3}x^3 -6\sqrt{3}x^2+8)$ จะได้ ค่า x ที่ทำให้ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}<1$
$\therefore x = \frac{2}{\sqrt{3}}$

4. ยังคิดไม่ออก แต่ รูปสมการมันสมมาตร น่าจะได้ $x= y=z$ เกิด $a = \frac{9}{2}$

ขอบคุณครับ
อยู่ ม.5 เหมือนกันครับรู้สึกกลัวๆเหมือนกัน :died:

5. สามเหลี่ยม ABC ซึ่ง $BC=1,CA=2$ หา ค่ามากที่สุดของมุม A ที่เป็นไปได้

6. สามเหลี่ยม ABC มีส่วนสูง 10,12,15 จงหาความยาวทั้ง 3 ด้าน

7. 40! = _ _ _ _ _ 285981219105863630848 $\cdot 10^k$ จงหาเลข 5 หลักแรก

Attachment 10172

พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $\frac{1}{2} \times BC \times 10 = \frac{1}{2} \times AC \times 12 = \frac{1}{2} \times AB \times 15 $

$10BC = 12AC = 15AB = 60k$

$BC = 6k, \ \ AC = 5k \ \ AB = 4k$

$BC:AC:AB = 6:5:4$

แล้วจะทำยังไงต่อดี ?


Attachment 10173

ให้ $BC = 6m, \ \ AC = 5m \ \ AB = 4m$

ให้ CD = p

โดยปิธากอรัส

$(5m)^2 -p^2 = (4m)^2 - (6m-p)^2$

$p = \frac{15m}{4}$

สามเหลี่ยม ACD

$(5m)^2 = 10^2 + ( \frac{15m}{4})^2$

$m^2 = \frac{64}{7} \ \ \to \ m = \frac{8\sqrt{7} }{7} $

$ 6m = \frac{48\sqrt{7} }{7} $หน่วย

$5m = \frac{40\sqrt{7} }{7} $ หน่วย

$4m = \frac{32\sqrt{7} }{7} $ หน่วย

ความยาวรอบรูป = $\frac{120\sqrt{7} }{7} $ หน่วย

พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $\frac{1}{2} \times 10 \times \frac{48\sqrt{7} }{7} = \frac{240\sqrt{7} }{7} $ตารางหน่วย

ชัดเจนว่า $0<A<\pi$ ให้ $AB=x,x>0$ ได้ว่า $\cos \hat A=\dfrac{x^2+3}{4x}$
พิจารณา $f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x}\rightarrow f^'(x)=\dfrac{x^2-3}{4x^2}$
ทำให้ $f^'(x)=0$ เกิดค่าวิกฤต $x=\sqrt{3}$ พบว่า $\cos \hat A=\dfrac{x^2+3}{4x}\ge \dfrac{\sqrt 3}{2}$ ดังนั้น $0<\hat A\le\dfrac{\pi}{6}$
หรือป่าวครับ ไม่เเน่ใจ 555+ ปล.ที่จริง AM-GM ง่ายกว่าเยอะมากครับ เเต่ไม่ได้ฉุกคิดเลย :sweat:

เย่ห์ มีคนมาตอบแล้ว 55555555555555

ถูกต้องครับ $x^2+3 \geq 2\sqrt{3} x$ ค่าน้อยสุดเมื่อ $x=\sqrt{3}$

ส่วนข้อแฟคทอเรียล ลองใช้ modulo นะครับ

ข้อ 4 $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงป่ะครับ เเล้วก็ข้อ 7 จะ mod ไงอ่ะครับ หา 5 ตัวเเรก :aah::aah:

ผม คิดออกแค่ อาจจะ ใช้ $\rm mod 9 ,11$ แต่ มันก็ มีตั้งหลายแบบ ซึ่งผมก็ไปต่อไม่ได้ :haha:

ข้อ 4 ก็จำนวนจริงครับ แต่ผมยังคิดไม่ออกเหมือนกัน แต่เฉลยในพีชคณิต (คิดทังชาติก็ไม่ได้) คิดเพื่อชาติเขาบอกว่า x=y=z เลยอ่ะครับ

ข้อนั้น ลองดูขั้นตอนการหารในตำรา สอวน ดูครับ

8. จงใช้การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการนับ พิสูจน์ว่า เส้นตรง n เส้นตัดกันได้อย่างมาก $\dfrac{n^2-n}{2}$

จงหาว่า วงกลม a วง กับ เส้นตรง b เส้นตัดกันได้อย่างมากที่สุดกี่จุด

8. คำตอบเป็นเเบบนี้ $2ab+\dbinom b 2 +a(a-1)$ หรือป่าวครับบ :sweat:

เส้นตรง 1 เส้น มีจุดตัด 0 จุด
เส้นตรง 2 เส้น มีจุดตัด 1 จุด
เส้นตรง 3 เส้น มีจุดตัด 1+2 จุด
เส้นตรง 4 เส้น มีจุดตัด 1+2+3 จุด
เส้นตรง 5 เส้น มีจุดตัด 1+2+3+4 จุด
.
.
.
เส้นตรง n เส้น มีจุดตัด 1+2+3+...+(n-1) จุด

ผลรวมจุดตัด n เส้นเท่ากับ 1+2+3+...+(n-1) = $\frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2} \ $Q.E.D.

พิสูจน์แบบนี้ได้หรือเปล่าครับ

#14 ผมว่าน่าจะได้ครับ เเต่เราสามารถเเสดงได้อีกว่า เส้นตรง $n$ เส้นตัดกันได้มากที่สุด $\dbinom n 2$ ก็คือการเลือกเส้น $2$ เส้นใดๆมาตัดกันจาก $n$ เส้นนั่นเอง

#13 คำตอบถูกแล้วครับ

เราแยกนับเป็น วงกลมตัดวงกลมด้วยกันเอง เส้นตรงกับเส้นตรงตัดด้วยกันเอง และ เส้นตรงตัดกับวงกลม แล้วมากบวกกัน

#14 แบบนั้นแหละครับบบบ

------------------------------------------------------------------------------

มาต่อดีกว่า (แข่งกับ my math problem collection 55555)

8. กำหนดให้ P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่ง $AP^2=BP^2+CP^2$ จงหาขนาดของ $B \hat {P} C$

9.จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $x^2+y^2 = 5(x-y)$

10. จงแก้สมการ $ x^{3}-3x^{2}-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}= 0 $

-------------------------------------------------------------------------------

Olympaid Corner

1. จงหาจำนวนจริง $(a,b)$ ทั้งหมดซึ่ง $a^2-b^2, a^3-b^3, a^5-b^5$ เป็นจำนวนตรรกยะ

2. $a,b,c \in \mathbf{R^{+}} , ab+bc+ca=3 $ จงพิสูจน์

$$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2} \geq \dfrac{3}{4}+\dfrac{3(a-1)(b-1)(c-1)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$$