ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2560
 

$\ 1. จงหาจำนวนเฉพาะ\ p\ ทั้งหมด\ ที่ทำให้\ p\ หาร 1^{p-1}+2^{p-1}+...+2017^{p-1}ลงตัว$

$2. กำหนดพหุนาม\ P(x)\ เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ P(x) =x^n-n(n+1)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 ซึ่งมีรากเป็น\ x_1,x_1,...,x_n $
$\ และ\ Q(x) เป็นพหุนามดีกรี\ n\ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม\ โดย\ Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2-2n(n+1)bx+b\ ซึ่งมีรากเป็น \frac{1}{x^2_1},\frac{2}{x^2_2} ...,\frac{n}{x^2_n}$
$ สมมติ R(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่ง\ R(0)เป็นจำนวนคี่\ และ\ R(1)เป็นจำนวนคู่ $
$ จงพิสูจน์ว่าพหุนาม\ S(x) โดยที่\ S(x)=P(x)-R(x)\ ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม$

$\ \ 3. กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ มีวงกลม\omega เป็นวงกลมล้อมรอบ ซึ่งมีจุด\ M\ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน\ BC ต่อ\ AMไปตัดวงกลมอีกครั้งที่\ A' $
$ให้เส้นสัมผัสวงกลมที่\ Aและ\ A' ตัดส่วนต่อของ\ BC ที่\ Xและ\ Y\ ตามลำดับ\ จงพสูจน์ว่า\ MX=MY $

$\ 4.กำหนดเซต S=\left\{1,2,...,50\,\right\} จงหาค่า\ k\ ที่น้อยที่สุด\ ซึ่งทำให้ทุกสับเซต\ S\ ที่มีสมาชิก\ k\ ตัว\ มี\ a,b\ เป็นสมาชิกในสับเซตนั้นซึ่ง\ (a+b)|ab$

$\ 5. กำหนดฟังก์ชัน\ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} โดยที่\ f(1)=1\ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้$
$(a)\ 5f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+5f(n))$
$(b)\ f(2n)<10f(n)$
$จงหาชุดของ\ (a,b,c,d)\ ทั้งหมด โดยที่\ a>b>c>d\ ซึ่ง\ f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

$\ \ 6. กำหนด\ x,y,z\in \mathbb{R^+}\ โดยที่\ x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx\ และ\ xyz=\frac{1}{2} $
$จงหาค่า\ x+y+z\ ที่น้อยที่สุด\ พร้อมทั้งหาค่า\ x,y,z\ ที่ทำให้เกิดค่าน้อยที่สุด$

ผมเสนอข้อ 3. กับ 6. ไปครับ อาจารย์คงจะปรับโจทย์นิดหน่อย ก็เลยยากขึ้นนิดหน่อย 555
ปล. จริงๆ ไอเดียในการแต่งข้อ 3. มาจากที่ผมสังเกตสมบัติของ Symmedian+ Harmonic Quadrilateral ครับ :)

ข้อ 1, 4 ก็ OMG เหมือนกันนะ ไล่รัว ๆ เลยครับ

ข้อ 6 $x=b+c,y=a+c,z=a+b$
จะได้ $ab+bc+ca=0$ เเละ $abc=\frac{-1}{2}$
จาก x,y,z>0 จะได้ ต้องมี a,b,c อย่างน้อย2ตัว >0
สมมติเป็น $a,b>0$
เเทน $c =\frac{-1}{2ab} \implies a+b=2a^2b^2 โดย AM-GM$ จะได้ $ab \ge 1$
$x+y+z=2(a+b+c)=2(2(ab)^2-\frac{1}{2ab}) \ge 2(2(1)^2-\frac{1}{2})=3$
เนื่องจาก $f(t)=4t^2-\frac{1}{t}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ $t>0$

ข้อ 4 $k$ ต่ำสุดนี่ $39$ ตัว ไหมครับ

3. สะท้อน $A$ ข้าม perpendicular bisector ของ $BC$ ได้ $A''$ จาก $A''BA'C$ harmonic จะได้ว่า $YA''$ สัมผัส $\omega$

นั่นคือ $X$ เป็นภาพสะท้อนของ $Y$ ข้าม perpendicular bisector ซึ่งให้ด้านเท่ากันตามต้องการ

ส่วนข้อ 5 ให้หา $(a,b,c,d)$ ชุดเดียว หรือ หาทั้งหมด หรือให้นับจำนวนครับ

5. สังเกตว่า $f(2n)(1+5f(n))=5f(n)f(2n+1)\implies 5f(n)\mid f(2n)$

แต่ $f(2n)<10f(n)$ จะได้ $f(2n)=5f(n)$ นั่นคือ $f(2n+1)=5f(n)+1$ ด้วย

ต่อมาให้ $n=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(2)}$ เป็นการเขียนในฐาน 2 จะได้ $f(n)=(x_nx_{n-1}...x_1x_0)_{(5)}$

ต่อไปจะนับจำนวนชุดของ $(a,b,c,d)$ ที่ $a>b>c>d$ และ $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=2017$

เรียก 4 สิ่งอันดับ $(a,b,c,d)$ ว่าดี ถ้า $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$

จาก $2017=(31032)_{(5)}$
โดยใช้ combi นิดหน่อย จะได้ว่ามีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีอยู่ ${\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{0}\binom{4}{3}\binom{4}{2}}=384$ ชุด

ต่อไปจะตัดกรณีที่มีสองตัวเท่ากันออก WLOG ไปก่อนว่า $a=b$

สังเกตว่า $a=b=(10011)_{(2)}$ หรือ $(10010)_{(2)}$ และ $a\ne c\ne d$ (พิสูจน์เอง)

Case 1 $a=b=(10011)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11010)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{0}=8$ ชุด

Case 2 $a=b=(10010)_{(2)}$

จะได้ $f(c)+f(d)=(11012)_{(5)}$ ในกรณีนี้มี 4 สิ่งอันดับดีอยู่ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}=8$ ชุด

ดังนั้น มีจำนวน 4 สิ่งอันดับดีที่ $a=b$ อยู่ $16$ ชุด

แต่ $a=b\implies a\ne c\ne d$ จะพบว่า แต่ละชุดสลับที่ได้ $6$ แบบ

จะพบว่ามี 4 สิ่งอันดับดีที่มีอย่างน้อย 2 ตัวเท่ากับอยู่ $96$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ทุกตัวต่างกันหมดอยู่ $384-96=288$ ชุด

ดังนั้น มี 4 สิ่งอันดับดีที่ $a>b>c>d$ อยู่ $288\div 24=12$ ชุด

มีเงื่อนไขว่า $a>b>c>d$ ด้วยนะครับ

Number of $(a,b,c,d)$ โดยไม่มีเงื่อนไขเท่ากับ $384$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a=b, a\ne c \ne d$ เท่ากับ $16$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a=b, a\ne c \ne d, c > d$ เท่ากับ $\frac{16}{2!} = 8$

Number of $(a,b,c,d)$ โดยเท่ากัน 1 คู่เท่ากับ $8 \times \frac{4!}{2!} = 96$

Number of $(a,b,c,d)$ โดยไม่เท่ากันเลย $384 - 96 = 288$

Number of $(a,b,c,d)$ โดย $a>b>c>d$ เท่ากับ $\frac{288}{4!} = 12$

ผิดนิดนึงครับ ตรงนี้ ทางทีดีก็ไล่เอาเลยก็ดีครับ

6. Alternate Sol ครับ
$x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx$
สมมติ $x \ge y \ge z$

$x^2+y^2+z^2-2xy-2zx+2yz=4yz$
$(x-y-z)^2=4yz$
$x-y-z=\pm 2\sqrt{yz}$
$x=y \pm 2\sqrt{yz} +z$
$\sqrt{x} = \sqrt{y} \pm \sqrt{z}$

แต่จาก $x$ มากที่สุด
$\sqrt{x} = \sqrt{y} + \sqrt{z}$
เอาไปแทนใน $xyz = \frac{1}{2}$ จะได้ไม่ยากว่า $yz \le \frac{1}{4},x \ge 2 \quad (\ast)$
ต่อมา
$\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z}=0$
ยกกำลังสอง
$x+y+z= 2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{xyz}\sqrt[4]{x}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\sqrt[4]{2}-2\sqrt{\frac{1}{4}}=4-1=3$

สมการเกิดเมื่อ $x,y,z$ สอดคล้องกับ $(\ast)$ และ $y=z$ หรือ permutation ครับ

เห็นมาหลายวันแล้วข้อนี้ขอหน่อย

อีกวิธีที่ไม่พึ่ง Harmonic นะครับ ใช้ Symmedian + Polar

จากโจทย์ต่อเส้นสัมผัสที่ B,C ให้ตัดกันที่ P พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า AP เป็น Symmedian

เพราะว่า M เป็น midpoint จะได้ว่า BMP เท่ากันทุกประการกับ PMC

และผลจากการที่ M เป็น midpoint ที่ลากผ่าน O ถ้าแบ่งครึ่งต้องตั้งฉาก

ดังนั้นจะได้ OP ตั้งฉาก BC จากนิยามของ pole and polar

จะได้ว่า BC เป็น polar ของ P เทียบกับ $\omega$ (w.r.t. $\omega$) ให้ AP ตัดกับ $\omega$ ที่ A'' และต่อ P,A' ชน $\omega$ ที่ A'''

เพราะว่า polar ของ P (คือ BC) ผ่าน Y ดังนั้น polar ของ Y ต้องผ่าน P ด้วยซึ่งก็คือ A'A''' (จาก La hire's)

ก็จะได้ YA''' สัมผัส $\omega$ และ P,A',A''' กับ P,A'',A ทั้งคู่ collinear เหมือนกัน

จากผลของ Symmedian จะได้ว่า BAP = MAC ดังนั้นส่วนโค้ง BA?? กับ CA? ยาวเท่ากัน

จะได้ว่า A?? ห่างจากเส้นตรง OP เป็นระยะทางเท่ากับ A? นั่นคือ A??,A? เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตร

และจากที่พิสูจน์ไปแล้วเรื่อง collinear ต้องได้ว่า AP กับ A???P เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตรด้วย

ให้ XA ตัดส่วนต่อของ OP ที่ S และ ให้ YA??? ตัดส่วนต่อของ OP ที่ T ให้ AA??? ตัด OP ที่ U

จากการที่ AUP เท่ากันทุกประการกับ A???UP ดังนั้น AA??? ตั้งฉาก OP ต้องได้ว่าส่วนต่อเส้นสัมผัสของ XA และ YA???

ต้องตัดกันจุดเดียวเป็น pole และมี AA??? เป็น polar ด้วย ดังนั้น S กับ T เป็นจุดเดียวกัน

สุดท้าย SA กับ SA??? เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ต้องได้ว่า SX และ SY เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ด้วย ดังนั้น MX=MY

ปล.ชอบข้อนี้มากๆเลยครับ คงมีอีกหลายๆ solution ซ่อนอยู่ :great: