มีพหุนามมาฝากครับ
 

จงแยกตัวประกอบของ $\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$

cardano method

คืออะไรหรอครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

ไม่ค่อยเข้าใจอ่ะครับ
ช่วยอธิบาย แล้วยกตัวอย่างโจทย์พื้นฐานให้หน่อยได้ไหมครับ

ลองอ่าน L I N K นี้ครับ

จะใช้กับพหุนามนี้ยังไงหรอครับ ช่วยเปิดกระโหลกผมหน่อย:please:

แล้วผมแยกได้อย่างนี้อ่ะครับ
$[(x+\frac{1}{x})\sqrt{x}-\sqrt{\frac{11x+24}{4}}i][(x+\frac{1}{x})\sqrt{x}+\sqrt{\frac{11x+24}{4}}i]$

คำตอบมันไม่สวยเลยครับ

ใช้ทฤษฎีนั้น แล้วนำมาประยุกต์ อย่างไรครับ

#7
$P_1(x)=x^3+x^2+3x+6$

เปลี่ยนรูปพหุนามใหม่โดย ให้ $y=x+\dfrac{1}{3}$
$P_2(y)=P_1(x)=\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)+6$
$P_2(y)=y^3+\dfrac{8}{3}y+\dfrac{137}{27}$

แล้วมีโจทย์พวกนี้อีกไหมครับ
ขอพื้นๆหน่อยนะครับ พีชคณิตอันเก่าก็จะตายละครับ

ลองใช้ Cardano's Method หารากของพหุนามนี้ดู

$x^3-19x^2+118x-240$

ทำให้เลยละกัน ตัวอย่าง :p

แทน $x = t - \dfrac{19}{3}$ ลงในสมการ $x^3-19x^2+118x-240$
จะได้ $(t+\dfrac{19}{3} )^3 -19(t+\dfrac{19}{3} )^2 +118(t+\dfrac{19}{3} ) - 240 = t^3-\dfrac{7t}{3} - \dfrac{20}{27}$

สมมติให้ $t = u+v$ แทนค่าลงไปในสมการจะได้ $u^3+v^3 +(\dfrac{-7}{3})+3uv)(u+v) - \dfrac{20}{27} = 0 $
กำหนดเงื่อนไขโดย $u^3+v^3 = \dfrac{20}{27} , uv = \dfrac{7}{9}$
เพราะฉะนั้น $u^3,v^3$ เป็นรากของ $z^2 - \dfrac{20}{27}z + \dfrac{7^3}{27^2}$ ก็แก้ออกมาแล้วไปแทนในตัวแปร $u,v$

ผมลองทำตามที่คุณ Amankris ให้อ่านไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า
ให้ $x=u+v$ แทนค่าได้
$u^3+v^3+(u+v)(3uv+118-19u-19v)-240=0$
ต้องการให้ $3uv+118-19u-19v=0$ ได้ $uv=\frac{19u+19v-118}{3}$
ได้ $u^3+v^3=240$
และ $u^3,v^3$ เป็นรากของสมการกำลัง 2 (ตามแบบเป๊ะ:haha:)
$t^2-(u^3+v^3)t+u^3v^3=0$ หรือ $t^2-240t+(\frac{19u+19v-118}{3})^3=0$
แล้วแก้ออกมา
ได้เท่าไหร่กันหรอครับ คำตอบไม่สวยเลย(หรือผมจะคิดผิด)

#13 ต้องลดรูปพหุนามก่อนนะครับ

ทำให้อยู่ในรูปนี้ก่อน $x^3+px+q$

#14
ขอบคุณมากครับ แล้วเรารู้ได้ไงครับ
ว่าต้องแทน x เป็นเท่าไร ถึงให้สอดคล้องกับ $x^3+px+q$
ขอลองอีกข้อละกันครับ