ข้อสอบคณิต มอ. ที่ว่ายาก (บางส่วน)
 

ข้อแรกๆไม่มีไรมากเรื่องเซตถามถูกผิดความเข้าใจอะไรประมาณนั้น





















ข้อสุดท้ายนี่วัดกึ๋นชัดๆ

ภาพใหญ่มาก ตาลาย

ข้อ 7 ตอบตัวเลือก 5

ข้อ 11 ตอบตัวเลือก 3

ข้อ 22 ตอบตัวเลือก 4

ตอน 2 ข้อ 7 ความแปรปรวนเท่ากับ 2

ข้อ 20 โจทย์ตรงค่าพิสัยหายไป

ข้อ 21 ตัวเลือก 1

โทดทีครับเดี๋ยวได้ตัวเต็มจะอัพให้ใหม่

10.หา$arc\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$\tan \theta _1=\frac{b}{a} $ และ $\tan \theta _2=\frac{d}{c} $

$tan( \theta _1+ \theta _2)=\frac{\tan \theta _1+\tan \theta _2}{1-\tan \theta _1\tan \theta _2} $

$=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac} } $

$=\frac{ad+bc}{ac-bd} $

$arc\frac{ad+bc}{ac-bd}= \theta _1+ \theta _2$

ไม่รู้ว่าในตัวเลือกเอา $\pi$ มาหลอกหรือเปล่า เพราะไม่ว่าจุดทั้งสองจะอยู่ในควอรันต์ไหน เครื่องหมายของ $tan$ ก็จะเปลี่ยนไปตามค่าของ$\frac{ad+bc}{ac-bd}$

ข้อ 18) วาดรูปก็ออกแล้วครับ
$$\int_0^1 1-\sqrt{1-(1-x)^2} dx = 1-\dfrac{\pi}{4}$$

ข้อ 16) แยกกรณีดังนี้
1) กรณีที่ $f(1),f(2),f(3)$ เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด ได้จำนวน $5\times 4 \times 3 =60$ ฟังก์ชัน
2) กรณีที่ $f(1),f(2),f(3)$ เป็นจำนวนคู่ 1 ตัว และเป็นจำนวนคี่ 2 ตัว ได้จำนวน $3\times 5 \times 5 \times 4=300$ ฟังก์ชัน
ดังนั้นมีจำนวนฟังก์ชันทั้งหมด $360$ ฟังก์ชันที่สอดคล้อง

15.ให้สามเหลี่ยมมุมฉากนี้มี$a>b>c$

$a^2=b^2+c^2$

$\frac{b}{a}=\frac{c}{b} =r \rightarrow ac=b^2$

$b=ar,\quad c=br \rightarrow \quad c=ar^2$

$a^2=a^2r^2+a^2r^4$

$r^4+r^2=1 \rightarrow r^4+r^2-1=0$

$r^2=\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2} $ เนื่องจาก$r^2>0$ ดังนั้น $r^2=\frac{-1+ \sqrt{5} }{2}$

$1+r^2+r^4+r^6+...=\frac{1}{1-r^2} $

$1-r^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $

$1+r^2+r^4+r^6+...=\frac{2}{3-\sqrt{5}} =\quad \frac{3+ \sqrt{5}}{2} $

ไม่ตรงกับตัวเลือกที่ให้มาเลย เดี๋ยวลองคิดใหม่อีกที
ขอบคุณมากครับคุณAmankris ที่ช่วยดูให้ครับ

สลับที่กันนะครับ

โจทย์บอกเรียง a, b, c มีอัตราส่วนคือ r

ข้อ 7 ตอบตัวเลือก 5

ข้อ 11 ตอบตัวเลือก 3

ข้อ 22 ตอบตัวเลือก 4

ตอน 2 ข้อ 7 ความแปรปรวนเท่ากับ 2

ข้อ 20 โจทย์ตรงค่าพิสัยหายไป

ข้อ 21 ตัวเลือก 1
ครับ

ตอนที่2 ข้อ4

$2cos2x=2sin^2x-sin2x-2$

$cos2x=sin^2x-sinxcosx-1$

$1-2sin^2x=sin^2x-sinxcosx-1$

$sinxcosx=3sin^2x-2$

$sin^2xcos^2x=9sin^4x-12sin^2x+4$

$sin^2x-sin^4x=9sin^4x-12sin^2x+4$

$10sin^2x-13sin^2x+4=0$

$sin^2x=\frac{13\pm \sqrt{13^2-4(4)(10)} }{20} =\frac{13\pm 3}{20} $

$sin^2x=\frac{4}{5},\frac{1}{2} $ ค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงมีค่าเดียวคือ $sin^2x=\frac{4}{5}$

เพราะเมื่อ$sin^2x=\frac{1}{2} \rightarrow cos^2x=\frac{1}{2} \rightarrow cos2x=0$ ซึ่งเมื่อ$cos2x=0$ จะทำให้สมการ$\frac{2cos2x}{2sin^2x-sin2x-2} =1$ ไม่เป็นจริง

$1+cos2x=2-2sin^2x=2-\frac{8}{5} =\frac{2}{5} $

ตอนที่3ข้อ2
$\frac{x}{x+1}-ax\leqslant 1\rightarrow \frac{x}{x+1}-(ax+1)\leqslant 0$

$x(x+1)-(ax+1)(x+1)^2 \leqslant 0$

$x^2+x-\left\{\,(ax+1)(x^2+2x+1)\right\}\leqslant 0 $

$x^2+x-\left\{\,ax^3+(2a+1)x^2+(a+2)x+1\right\}\leqslant 0 $

$-ax^3-2ax^2-(a+1)x-1\leqslant 0$

$ax^3+2ax^2+(a+1)x+1 \geqslant 0$

$(x+1)(ax^2+ax+1)\geqslant 0$

เมื่อ$x>-1\rightarrow x+1>0$

อสมการนี้จะเป็นจริงเมื่อ$ax^2+ax+1\geqslant 0$

$ax^2+ax+1\geqslant 0$ เมื่อเราเขียนให้อยู่ในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ได้
สมมุติให้เป็น$(mx+c)^2=m^2x+2mcx+c^2$
$c=1 ,m^2=a,2m=a \rightarrow m^2=2m$
$m(m-2)=0 \rightarrow m=0,2$
$a=4$
$c=-1,a=-2m,m^2=a \rightarrow m^2=-2m$
$m(m+2)=0 \rightarrow m=0,-2$
$a=4$
ยังมีอีกกรณีหนึ่งที่ยังคิดไม่ออกคือเขียน$ax^2+ax+1=(mx+c)^2+d$ เมื่อ$d>0$ แต่ผมคิดว่าไม่จำเป็นเพราะ$(mx+c)^2+d>0$ ไม่คลุมกรณีที่ต้องการค่าเท่ากับศูนย์ และถ้าจะเขียนเป็น$ax^2+ax+1=(mx+c)^2-d$ มีโอกาสเกิด$(mx+c)^2+d=0$ แต่อาจทำให้ค่า$(mx+c)^2+d$น้อยกว่าศูนย์ได้ ยังคิดไม่ออกเรื่องการเขียนออกมาแบบนี้

ทำผมงงเลย ว่ามันข้อไหน >_< หาอยู่นานมาก



จริงๆตอนจบไม่ต้องทำยุ่งยากขนาดนั้นก็ได้ครับ

พอถึงตรงนี้ เราสามารถหาช่วงของ x ได้เลย (ในรูป a)

แล้วค่อยพิจารณาเงื่อนไข

พิมพ์ผิดอีกแล้ว ขอโทษด้วยครับที่ทำให้คุณAmankrisเสียเวลาหาตัวโจทย์ต้นฉบับ
$ax^2+ax+1=0$
$a^2-4a\geqslant 0\rightarrow a\geqslant 4,a\leqslant 0$
$x=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4a} }{2a} $
$x=\frac{-a+ \sqrt{a^2-4a} }{2a},\frac{-a- \sqrt{a^2-4a} }{2a}$
เรารู้ว่า$\frac{-a+ \sqrt{a^2-4a} }{2a}\geqslant \frac{-a- \sqrt{a^2-4a} }{2a} $
ในการหาคำตอบของอสมการ ถ้า$\frac{-a+ \sqrt{a^2-4a} }{2a} > -1$ แล้วอสมการ$(x+1)(ax^2+ax+1)\geqslant 0$ จะไม่มี $x>-1$ เป็นคำตอบ ดังนั้น$\frac{-a+ \sqrt{a^2-4a} }{2a}\leqslant -1$
แบบนี้หรือเปล่าครับแล้วค่อยหาค่า$a$ มาแล้วเช็คกับค่า$a$ ที่กำหนดไว้ตอนแรก

#14
เราสามารถบอกได้เลยว่า $ax^2+ax+1$ ต้องมีรากจริงไม่เกิน 1 ราก (เพราะ???)