pat1 2/53
 

a1+a2+a3+...+an=n^2an n=1,2,3,....

a1=100 แล้ว \lim_{x \to \infty} n^2an=???

$a_n = 200/n(n+1)$

ดังนั้น $\lim_{n \to \infty}n^2 a_n = 200 $

อยากรู้วิธีแบบละเอียดอะครับ ไม่เข้าใจแหะ

จาก $a_1+a_2+...+a_n = n^2a_n$

แสดงว่า $a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1} = (n+1)^2a_{n+1}$

นำสมการมาลบกันจะได้ $a_{n+1} = (n+1)^2a_{n+1} - n^2a_n$

$(n^2+2n)a_{n+1}=n^2a_n$

$a_{n+1}/a_n = n^2/(n^2+2n) = n/(n+2)$

จากสมการนี้แสดงว่า

$(a_2/a_1)(a_3/a_2)(a_4/a_4)...(a_n/a_{n-1}) = (1/3)(2/4)(3/6)....((n-2)/n)((n-1)/(n+1))$

ตัดกันได้ $a_n/a_1 = (1)(2)/n(n+1)$

แทน $a_1=100$ จะได้ $a_n=200/n(n+1)$

$a_1+a_2+a_3+...+a_n=n^2a_n$

$n=1,2,3,....$

$a_1=100$ แล้ว $\lim_{x \to \infty} n^2a_n=?$

$Sol^n$

$a_1=100$

$a_2=\frac{100}{3} =\frac{100}{1+2} $

$a_3=\frac{100}{6} =\frac{100}{1+2+3} $

...

$a_n=\frac{100}{1+2+3+...+n} =\frac{200}{n(n+1)} $

$\lim_{x \to \infty} n^2a_n=\lim_{x \to \infty} \frac{200n}{n+1} =200$