Prime number
 

1. จงพิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ n จะมี prime divisor ของ n ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ $\sqrt{n}$

2. จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

3. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n\geq 6$ เป็นจำนวนประกอบ(composite) แล้ว $n| (n-1)!$ (ข้อนี้ไม่ต้องก็ได้นะครับ)

4. $a,b,c$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จงแสดงว่ามี $(x,y,z) $ เป็นอนันต์ซึ่ง $x^a+y^b=z^c$ โดย x,y,z เป็นจำนวนเต็ม

ถ้า $n=4$ แล้วขัดแย้งนี่ครับ
น่าจะต้องเพิ่มเงื่อนไขให้ $n>4$ ด้วยครับ

ขอบคุณครับ แก้ไขแล้วครับ แล้วทำไงครับ

สมมติว่า จำนวนเฉพาะมีอยู่จำกัด
ให้ - มีจำนวนเฉพาะอยู่ $n$ ตัว คือ $p_1,p_2,...,p_n$
$\quad$ - $N=p_1p_1...p_n+1$

จะได้ $N>1$ และจะมีจำนวนเฉพาะ $p$บางค่าที่น้อยกว่า $p_n$ ที่ $p\mid N$
ฉะนั้น $p \mid p_1p_2...p_n$ แต่จาก $p\mid N$
นั่นคือ $p \mid 1$ ด้วย ซึ่งไม่จริง

ดังนั้น จำนวนเฉพาะมีอยู่อนันต์

ข้อเเรก $n$ ต้องเป็นจำนวนประกอบป่ะครับ
ข้อ 4 นี่ $x,y,z$ ต้องเป็นจำนวนเต็มป่ะครับ เเล้วก็ ที่ว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์นี่คือ $(a,b,c)=1$ ใช่ไหมครับ

#5 ใช่ครับ ผมลองมาดูเนื้อหาค่าย 1 แล้วมันเป็นพื้นฐานอ่ะครับ แต่ผมยังทำไม่ได้

ให้ $N$ เป็นจำนวนประกอบ , $p_i>1$ และ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะ $a_i\in \mathbb{N} $
จะได้ $N={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_n}^{a_n}$

นั่นคือ ถ้า $a_i\leqslant \frac{(N-1)}{p_i} \, เมื่อ \, i=1,2,...,n$ แล้ว $N \mid (N-1)! $

จะแสดงว่า $a_i\leqslant \frac{(N-1)}{p_i} \, เมื่อ \, i=1,2,...,n$ จริง (แต่แทนค่าแล้ว $N=2^2$ ไม่ได้ ดังนั้น $N>4$)
จาก $a_{i}p_i<N\, เมื่อ \, N>4$ จาก $a_i,p_i \in \mathbb{N} \Rightarrow a_{i}p_i\leqslant (N-1)$

นั่นคือ $a_i\leqslant \frac{(N-1)}{p_i} เมื่อ i=1,2,...,n$

จึงสรุปได้ว่า $N$ เป็นจำนวนประกอบ(composite)ที่มากกว่า $4$ แล้ว $N| (N-1)!$
มันแปลกๆ อ่ะคับ :please:

ผมไม่เข้าใจอ่ะครับ ลองค่อยๆ เรียบเรียงแล้วให้เหตุผลหน่อยครับ

ถ้า $n=2$ ก็จะไม่มี prime divisor ของ $2$ ที่น้อยกว่าเท่ากับ $\sqrt{2}\approx 1.414$
ปล. $n$ ต้องเป็นจำนวนประกอบรึเปล่าครับ?

ข้อ 4 นี่เราหยิบมากรณีเดียวได้ไหมครับ ( สมมุติว่าผมเเสดงว่า มี $(x,y,z)$ เป็นอนันต์ที่ $x+y^2=z^3$ <--- การพิสูจน์สิ่งนี้เกรียนเเตกมาก :haha: ) ซึ่งเเค่กรณีเดียวก็มีเป็นอนันต์เเล้วจะสรุปได้ป่ะครับ

ผมก็ไม่รู้อ่ะครับ ถ้าแบบนั้นได้ก็ $x= (-1)^3+(-2)^3+...+(-n)^3 , y=\dfrac{n(n-1)}{2} , z=-n$

ลองดู #7 ให้ผมหน่อยผมงงอ่ะครับ

#7 ผมก็งงเหมือนกันครับ 555 เเต่คุณ Pain คิดลึกจังผมใช้(ความเกรียน)เเค่ $(x,y,z)=(k^3-1,1,k)$ เอง :haha:

จะได้ว่ามี $a,b\in Z$ ที่ $1<a\leqslant b<n $ ที่ n=ab ถ้า $a\not= b$ ก็เห็นได้ชัด แต่ถ้า a=b ก็ต่ออีกนิดครับ

:haha::haha: จริงด้วย !!! เยี่ยมครับๆ :great:

(ปล. ผมกะจะไปต่อ มาราธอนค่าย 1 แต่ยังทำโจทย์อสมการไม่ได้เลยครับ เลยไม่รู้จะเอาไรไปต่อ :haha:)

$a,b$นี่ก็คือ $p_i$ เปล่าครับ :confused: