รบกวนหน่อยครับ สงสัยเรื่อง group axioms
 

ให้ closure, associativity, left identity, left inverses เป็นจริง
-ต้องการแสดงว่า left identity คือ two-sided identity
-ต้องการแสดงว่า left inverse คือ two-sided inverse

ลองทำแล้วเหมือนพายเรือในอ่างครับ รบกวนหน่อยนะครับ :confused:

โจทย์ข้อนี้ผมคิดมาแล้วอย่างน้อยสามรอบ

คิดเสร็จแล้วก็จะลืมทุกครั้ง พอมาคิดใหม่ก็จะงงทุกครั้งอีกเช่นกัน

โจทย์เกี่ยวกับ semigroup นี่งงจริงๆครับ :D

สมมติว่ามี $e$ ซึ่ง $ex=x$ ทุก $x$

และแต่ละ $x$ จะมี $y$ ซึ่ง $yx=e$

1. พิสูจน์ว่า ถ้า $f^2=f$ แล้ว $f=e$

พิสูจน์ ให้ $g$ เป็น left inverse ของ $f$

ดังนั้น $e=gf=g(ff)=(gf)f=ef=f$

2. ถ้า $yx=e$ แล้ว $xy=e$

พิสูจน์ $(xy)^2= x(yx)y=x(ey)=xy$

จากข้อ $1$ $xy=e$

3. พิสูจน์ว่า $e$ เป็นเอกลักษณ์

$ex=x$ จากสมมุติฐาน

$xe=x(yx)=(xy)x=ex=x$

จากข้อ $2,3$ $y$ จะเป็น inverse ของ $x$ ทันที

ขอบคุณมากๆๆๆๆครับ อะไรที่งงๆๆๆแบบนี้ ผมต้องขอดูจากคนที่รู้จริงครับ

ปัญหาของผมในการทำโจทย์ข้อนี้คือ ไม่รู้ว่า assume ข้อความไหนได้หรือไม่ได้บ้าง กลัวว่า assume เงื่อนไขที่ไม่เป็นจริง แล้ว prove ไปเรื่อยเปื่อย จะทำให้เข้าใจผิดครับ ขอบคุณมากๆครับ