ช่วยคลายปัญหาหน่อยครับ (สพฐ. 2555 รอบแรก)
 

คิดมากจนปวดหัวหมดแล้วเพื่อน ๆ พี่ ๆ หรือ น้อง ๆ ช่วยผมคิดหน่อยนะคับ
1.
$$กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี AB = 2011 หน่วย BC = 2012 หน่วย และ CA = 2013 หน่วย$$
$$วงกลม O สัมผัสวงกลมที่ล้อมรอบ ABC ที่จุด A และสัมผัส BC ที่จุด D ตัด AB และ AC ที่จุด E และ F ตามลำดับ$$
$$ EF ยาวกี่หน่วย$$

2.
$$กำหนดให้ x, y และ z เป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 3 และสอดคล้องกับสมการ$$
$$ \frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{z+x-4} +\frac{(z+6)^2}{x+y-6} = 36 $$
$$ ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ x^2 + y^2 + z^2 เป็นเท่าใด $$

ช่วยหน่อยนะคับ

ข้อ 1
Attachment 12160
จากรูป ให้ $r$ เป็นรัศมีวงกลม $O$, $R$ เป็นรัศมีวงกลม $P$
สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า
$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{r}{R}$

ลากเส้นจาก $A,P$ มาตั้งฉากกับ $AC$ ที่ $H,I$ ตามลำดับ
เพื่อความง่ายต่อการเขียนจะเขียนแทน $a=1006$

สมมติ $BH=x$

พิจารณา $AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-HC^2$
$(2a-1)^2-x^2=(2a+1)^2-(2a-x)^2$
$2a(2a-2x)=8a$
$x=a-2$

$AH^2=AB^2-BH^2=(2a-1)^2-x^2=(2a-1)^2-(a-2)^2$
$AH^2=(a+1)(3a-3)=3a^2-3$

หาค่า $R$ ออกมาจะได้ $R=\dfrac{4a^2-1}{2\sqrt{3a^2-3}}$

$AQ^2=AP^2-HI^2=AP^2-(BI-BH)^2=R^2-4=\dfrac{(4a^2-1)^2}{4(3a^2-3)}-4=\dfrac{(4a^2-7)^2}{4(3a^2-3)}$

$\dfrac{AQ^2}{AH^2}=\dfrac{(4a^2-7)^2}{4(3a^2-3)^2}$
$\dfrac{AQ}{AH}=\dfrac{4a^2-7}{2(3a^2-3)}$
$\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{4a^2-7}{2(3a^2-3)}$

แต่ $AP=R, AD=2r$

$\dfrac{R}{r}=\dfrac{4a^2-7}{3a^2-3}$

$\therefore EF = \dfrac{r}{R}\times BC = \dfrac{2a(3a^2-3)}{4a^2-7} = \dfrac{678738140}{449793}$

ตัวเลขไม่ค่อยสวยเลย แต่วิธีทำก็น่าจะประมาณนี้ครับ

ข้อแรก ไล่มุม สามเหลี่ยมคล้าย ไม่เหนื่อยเท่าไร

ข้อสอง คุ้นๆนะครับ

ข้อสองเพิ่งตั้งกระทู้ของเรียวคุง เป็นข้อสอบสพฐ.ปี55 อยู่ล่างกระทู้นีี้ครับ

ข้อเเรกตอบ 1509 ไม่ใช่หรอครับ จากเฉลยของคุณ gon