อนุกรม
 

1) ผลบวก $n$ พจน์แรกของ $1 + \frac{1^2 + 2^2}{1 + 2} + \frac{1^2 + 2^2 + 3^2}{1 + 2 + 3} +...$

2) $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(2k-1)}{k(k+1)(k+2)}$ จงหา $S_n$ และ $S_\infty$
3) กำหนด $a_n$ เป็นพจน์ทั่วไปของอันดับเรขาคณิต โดยผลบวกอนันต์ของ $a_n$ มีค่าเป็น $S_1$ และผลบวกอนันต์ของ $(a_n)^2$ มีค่าเป็น $S_2$ จงหาค่าอัตราส่วนร่วมของอันดับเรขาคณิต $a_n$ นั้นในรูปของ $S_1$ และ $S_2$

Hint

1.
$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i = 1}^{n} i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\sum_{i = 1}^{n} i(i+1)(i+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

...

2.
$\frac{1}{ab} = \frac{1}{b-a}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$
$\frac{1}{abc} = \frac{1}{c-a}(\frac{1}{ab} - \frac{1}{bc})$

3. $S_1 = \frac{a_1}{1-r}, S_2 = \frac{a_1^2}{1-r^2}$

ข้อ 2 ทำแยกส่วนแล้วค่ะ แต่พอเศษที่ไม่เท่ากัน (1, 3, 5, ....) เลยติดอยู่ค่ะ
ข้อ 3 ได้แบบนี้แล้วค่ะ แต่ทำต่อให้ r ในรูป $S_1$ และ $S_2$ ไม่ได้ค่ะ

2. แยกเป็น $\frac{2k}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{(k+1)(k+2)} - \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

ก่อนครับ จากนั้นแต่ละอันใช้ที่ Hint ไว้

3. $a_1^2 = (1-r)^2S_1^2 = (1-r^2)S_2$ แล้วแยกตัวประกอบแล้วตัดกัน จากนั้นคูณกระจายแล้วย้ายข้างจัดรูปก็จะได้ $r$ ในรูป $S_1, S_2$ ได้ครับ.

ขอบคุณมากๆๆๆค่ะ :)

ก่อนอื่นหารูปของพจน์ทั่วไปของอนุกรมนี้ คือ $\frac{\sum_{i = 1}^{k}i^2}{\sum_{i = 1}^{k}i}$

$=\frac{\frac{k}{6}(k+1)(2k+1)}{\frac{k}{2}(k+1)}=\frac{2k+1}{3}$

$\therefore $ ผลรวมของอนุกรมนี้ =$\sum_{k = 1}^{n}\frac{2k+1}{3}$

ดังนั้น $=\frac{1}{3}(n(n+1)+n)=\frac{n^2+2n}{3}$ เป็นคำตอบ

เพิ่มโจทย์ ครับ
จงหาผลบวก n พจน์แรกของ $1+\frac{3}{4}+\frac{3\cdot5}{4\cdot8}+\frac{3\cdot5\cdot7}{4\cdot8\cdot12}+...$

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=16705 :)

เพิ่มโจทย์ค่ะ
จงหา $S_n = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7 \cdot 9} +\frac{3 \cdot 4}{9 \cdot 11 \cdot 13} +... $

ลองทำดูได้ $\sum_{n = 1}^{n} \frac{n \cdot (n+1)}{(4n-3) \cdot (4n-1) \cdot (4n+1)} $ แต่ไปต่อไม่ได้ค่ะ :(

#10
diverge นะครับ

#11 โจทย์ให้หา $S_n$ รบกวนด้วยค่ะ

โจทย์น่าจะไม่ถูกต้องครับ ลองตรวจกับต้นฉบับหรือผู้ที่เขียนโจทย์ข้อนี้ออกมาครับ :eek:

เพราะถ้าจัดรูปจะได้เป็น $$\frac{1}{16}[\frac{1}{4n-1} + \frac{3}{(4n-1)(4n+1)} + \frac{9}{(4n-3)(4n-1)(4n+1)}]$$ ซึ่งพจน์แรกคือ $\frac{1}{4n-1}$ ถ้าหาผลบวกจะไม่สามารถเขียนในรูปอย่างง่ายได้ ต้องติดผลบวกตรง ๆ หรือเขียนในรูปฟังก์ชันบางอย่าง

แต่ถ้าคูณที่ตัวส่วนของโจทย์ด้วย $(4n+3)$ หรือ $(4n-5)$ แบบนี้ก็จะหาเป็นสูตรง่าย ๆ ได้ครับ. :great:

หมายความว่ายังไงคะคุณ gon ที่ว่าถ้าคูณที่ตัวส่วนของโจทย์ด้วย (4n+3) หรือ (4n-5) จะเป็นสูตรง่ายๆน่ะค่ะ??

ผมหมายความว่า ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็น เช่น $$\sum_{i = 1}^n\frac{i(i+1)}{(4i-3)(4i-1)(4i+1)(4i+3)}$$

แบบนี้ก็จะหา $S_n$ ได้ครับ เพราะมันจะจัดรูปให้อยู่ในรูปผลต่างของเศษส่วน แล้วตัดกันได้

ตรวจสอบแล้วโจทย์เป็นแบบนี้จริงๆค่ะ หรือควรตอบว่า divergence คะ? แต่เค้าก็ไม่ได้ถาม $S_\infty$ นะคะเลยไม่มั่นใจว่าควรตอบอย่างไร