อสมการค่าตำ่สุด
 

ให้ $a,b,c,d,e,f,g$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}$

ค่าต่ำสุดคือ $k=\sec\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$

นิยามลำดับของจำนวนจริง $k_1,k_2,...,k_{10}$ ดังนี้

$k_1=\dfrac{k}{2}$

$k_2=\sqrt{1-k_1^2}$

$k_3=\dfrac{k}{2k_2}$

$k_4=\sqrt{1-k_3^2}$

$k_5=\dfrac{k}{2k_4}$

$k_6=\sqrt{1-k_5^2}$

$k_7=\dfrac{k}{2k_6}$

$k_8=\sqrt{1-k_7^2}$

$k_9=\dfrac{k}{2k_8}$

$k_{10}=\sqrt{1-k_9^2}$

จะได้ว่าอสมการ

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}\geq k$

สมมูลกับ

$(a-k_1b)^2+(k_2b-k_3c)^2+(k_4c-k_5d)^2+(k_6d-k_7e)^2+(k_8e-k_9f)^2+(k_{10}f-g)^2\geq 0$

ต่อไปนี้เป็น conjecture ที่ผมคาดว่าจะจริงแต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ

Conjecture ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า
$$
\dfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n}\geq\sec\left(\dfrac{\pi}{n+1}\right)
$$

ค่าต่ำสุดคือ 1 ครับ จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์

ยังไงหรอครับ ยังไม่เห็นพจน์ ac ad ae ..... เลยครับ

มายังไงน่ะครับท่าน กำลังสองมาเป็นพรวน :please:

มาจากทฤษฎีบทของ Artin ที่ว่าทุกอสมการพหุนามจะสามารถจัดเป็น sum of squares ได้ครับ

ก็เลยลองเดาว่าจะจัดรูปให้เป็น SOS ได้ยังไงโดยใช้วิธี undetermined coefficients ครับ

ผมคิดว่า conjecture ที่ตั้งไว้เป็นจริงโดยการจัดให้เป็น SOS แบบที่แสดงไว้

แต่ความยากอยู่ที่จะต้องพิสูจน์เอกลักษณ์บางอย่างของ $\sec$ ครับ

ใครว่างๆลองเอาไปคิดต่อดูนะครับ

อีกคำถามนึงครับ ไปเสกค่า bound ขวาในรูปของ sec ออกมาได้ยังไงครับ :great:

มาจากการสังเกตน่ะครับ

ถ้าจำนวนตัวแปรน้อยๆจะพบว่าอสมการต่อไปนี้เป็นจริงทุกตัวแปรที่เป็นจำนวนจริงใดๆ

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{2}(ab+bc)$

$a^2+b^2+c^2+d^2\geq (\sqrt{5}-1)(ab+bc+cd)$

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}(ab+bc+cd+de)$

ซึ่งจะพบว่าตัวเลขที่เห็นทางขวามือคือค่าของ $\sec\left(\dfrac{\pi}{n+1}\right)$ เมื่อ $n=2,3,4,5$

สำหรับวิธีพิสูจน์ก็สามารถใช้ SOS ได้ทุกอสมการครับ เช่น

$a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{2}(ab+bc)$ จะสมมูลกับ $\left(a-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{2}}-c\right)^2\geq 0$

ล้ำลึกยิ่งนัก