แคล 1
 

โจทย์จาก แคล 1 ของ อ.ดำรงค์ คะ ช่วยเฉลยวิธีทำละเอียดให้หน่อยนะคะ
1 . ∫(sint cost)^3 dt ====> ข้อ 4.14 บฝ.3.1

2 . ∫(cot^(3) y cosec^(4) y) dy ====> ข้อ 4.26 บฝ.3.1

3.∫((-1/2)[(5-3x)^4]+1/3) dx คือว่าถ้าเราใช้การเปลี่ยนตัวแปรแล้ว1/3จะอินทิเกรตเทียบอะไรคะ เทียบ x หรือ เทียบตัวแปรใหม่เราใช้คะ ====> อาจดูงงๆต้องขอโทษด้วยนะคะ

4. ∫(1/(x(√(x^(2)-1))) dx ====> ข้อ 10.2 บฝ. 3.1
ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

เริ่มข่อที่หนึ่งเลยครับ สำหรับถ้าต้องแก้ไขยังไงก็ช่วยเช็คด้วยน่ะครับ
$$\int (\sin t \cos t)^3 dt$$
ให้ $u= \sin t$ ดังนั้น $du= \cos t$ จะได้
$\int (\sin t \cos t)^3 dt=\int \sin^3 t \cos ^3 t dt$
$= \int u^3 \cos^2 t (\cos t dt)$
$=\int u^3(1-u^2)du$
$=\int (u^3-u^5)du$
$=\frac{1}{4}u^4-\frac{1}{6}u^6+C$
$=\frac{1}{4}\sin t^4-\frac{1}{6} \sin t^6+C$

ข้อ4.
$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$$
ให้ $x=\sec u$ จากสามเหลี่ยมมุมฉากได้ว่า $\sqrt{x^2-1}=\tan u$
แทนค่าได้ว่า
$$\int \frac{1}{\sec u \tan u} dx$$
จาก $x=\sec u$ ดังนั้น $dx=\sec u \tan u du$
แทนค่าได้ว่า
$$\int \dfrac{\sec u \tan u}{\sec u \tan u}du=u+C$$
$$=\sec^{-1} x +C$$

ข้อ2.
$$\int \cot^3y \csc^4y dy$$
ให้ $u=\cot y$ ได้ว่า $dy=\frac{du}{-\csc^2y}=\frac{du}{-(u^2+1)}$
$$\int \cot^3y \csc^4y dy=\int \cot^3y(\cot^2y+1)^2dy=u^3(u^2+1)^2dy$$
$$=\int \dfrac{u^3(u^2+1)^2}{-(u^2+1)}du=-\int u^3(u^2+1) du =-\int u^5+u^3 du=-\frac{u^6}{6}-\frac{u^4}{4}+C$$
$$\int \cot^3y \csc^4y dy=-\frac{\cot^6y}{6}-\frac{\cot^4y}{4}+C$$

ข้อ3.
$$\int -\frac{1}{2}(5-3x)^4+\frac{1}{3} dx$$
$$=-\frac{1}{2}\int (5-3x)^4 dx+\int \frac{1}{3} dx=-\frac{1}{2}\int (5-3x)^4 \dfrac{d(5-3x)}{-3}+\int \frac{dx}{3}$$
$$=\frac{1}{6}\int (5-3x)^4 d(5-3x)+\int \frac{dx}{3}=\frac{1}{30}(5-3x)^5+\frac{x}{3}+C$$
$$\therefore \int -\frac{1}{2}(5-3x)^4+\frac{1}{3} dx=\frac{1}{30}(5-3x)^5+\frac{x}{3}+C$$

ขอบคุณมากๆนะคะ

สุดยอดมากครับคุณ Ne[S]zA
ขอบคุณครับ

ยากจัง.................................

ขอรบกวนหน่อยนะคะ ข้อสอบเก่าเรื่องอินทิเกรต ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยนะคะ

http://picasaweb.google.co.th/k.kiwi...54396042139970

ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

$$\int \dfrac{1}{2^x+2^{-x}+\sqrt{2}}dx$$
ให้ $u=2^x$ ได้ว่า $du = 2^x \ln 2 dx$
ได้ว่า
$$\int \dfrac{1}{2^x+2^{-x}+\sqrt{2}} \times \dfrac{du}{2^x \ln 2}=\dfrac{1}{\ln 2}\int \dfrac{1}{2^{2x}+\sqrt{2}(2^x)+1}du=\dfrac{1}{\ln 2}\int \dfrac{1}{u^2+\sqrt{2}u+1}du=\dfrac{1}{\ln 2}\int \dfrac{1}{(u+\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}du$$
ให้ $u+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \theta$ ได้ว่า $\sqrt{2}u+1=\tan \theta$ เพราะฉะนั้น $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2}u+1)$ และ $u=\frac{1}{\sqrt{2}}(\tan \theta -1)$ ได้ว่า $du=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2\theta d\theta$
จึงได้ว่า
$$\dfrac{1}{\ln 2}\int \dfrac{2}{\tan^2\theta+1} \times \dfrac{\sec^2\theta d\theta}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\ln 2}\int d\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{\ln 2} \times \theta+C=\dfrac{\sqrt{2}}{\ln 2} [\tan^{-1}(\sqrt{2}u+1)]+C=\dfrac{\sqrt{2}}{\ln 2}[\tan^{-1}(\sqrt{2}(2^x)+1)]+C$$
$$\therefore \int \dfrac{1}{2^x+2^{-x}+\sqrt{2}}dx=\dfrac{\sqrt{2}}{\ln 2}[\tan^{-1}(2^{x+\frac{1}{2}}+1)]+C$$

สมัยผมเรียนเรื่องนี้ ไม่จำกัดว่าจะใช้ความสัมพันธ์ใด แต่ต้องให้ได้ความแม่นยำอย่างน้อยทศนิยม 5 ตำแหน่งขึ้นไป ทำให้งงว่ารูปแบบใดเหมาะสมที่จะตอบเพื่อให้ได้คะแนนสูงที่สุด

และต้องให้สูตรเคมีมาด้วย หากต้องการใกล้เคียงกับความแม่นยำที่สุด แต่อย่างน้อยเราก็น่าจะบอกได้ว่าวิธีต่างๆ ข้างบนมีความแม่นยำเท่าไหร่ เทียบกับเครื่องคิดเลขที่กำหนดให้ใช้ในการสอบ