[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2557] มาแชร์ข้อสอบ สอวน. 57 กันเถอะ
ผมสอบของศูนย์มอ.หาดใหญ่ครับพอจะจำได้บ้างประมาณนี้
1.กำหนด x,y เป็นจำนวนจริง $x^3+x^2y=2$ $y^3+y^2x=8$ จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด 2.กำหนดให้ a,b,c,d และ a<b<c<d เป็นจำนวนนับ $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=4$ จงหา a,b,c,d ทั้งหมด 3.กำหนด $P(X)=x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ ให้ $P(X)$ หาร $P(X^{18})$ จะเหลือเศษเท่าไหร่ |
อ้างอิง:
|
$4.\frac{x+y-3z}{z}=\frac{x-3y+z}{y}=\frac{-3x+y+z}{x}$
จงหา $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}$ |
อ้างอิง:
$8$ น่ะเดาง่ายครับ แต่ $-1$ ต้องบวก $4$ เข้าไปทุกเทอมในสมการ |
อ้างอิง:
|
ผมตอบ 8 ไปอย่างเดียวอ่ะครับ -1 ทำยังไงอ่ะครับ
|
อ้างอิง:
|
ขอวิธีข้อ 2 ด้วยครับงงแท้
|
อ้างอิง:
สังเกตว่า $4=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{a})^2(1+\frac{1}{b})^2$ ดังนั้น $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})>2$ จัดรูปได้ $(a-1)(b-1)<2$ จึงได้ $(a-1)(b-1)=0,1$ สุดท้ายใช้เงื่อนไข $a<b$ จะได้ $a=1$ เท่านั้น ก็จะได้สมการ $(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=2$ ต่อไปจะหาขอบเขตของ $b$ จาก $2=(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{b})^3$ จะได้ $b<\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1<5$ ถ้า $b=4$ จะได้ $c\geq 5, d\geq 6$ ดังนั้น $(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\leq \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{4}<2$ ดังนั้น $b=2,3$ เท่านั้น แทนค่า $b$ แล้วแก้หา $c,d$ จะได้คำตอบทั้งหมดคือ $(a,b,c,d)=(1,2,4,15), (1,2,5,9), (1,2,6,7), (1,3,4,5)$ |
ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii ผมทำไม่ได้ครับข้อนั้นยากจริงๆ :(
|
อ้างอิง:
$ 4.\frac{x+y-3z}{z}=\frac{x-3y+z}{y}=\frac{-3x+y+z}{x}$ จงหา $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}$ $ \frac{x+y-3z}{z}=\frac{x-3y+z}{y}=\frac{-3x+y+z}{x}$ $ \frac{x+y+z}{z}-\frac{4z}{z} =\frac{x+y+z}{y}-\frac{4y}{y}=\frac{x+y+z}{x}- \frac{4x}{x}$ $ \frac{x+y+z}{z}-4 =\frac{x+y+z}{y}-4=\frac{x+y+z}{x}- 4$ $ \frac{x+y+z}{z} =\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{x}$ กรณีที่ 1 : $ x=y=z $ $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}= \frac{8x^3}{x^3} = 8 $ กรณีที่ 2 : $ x+y+z=0 $ $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}=\frac {(-x)(-y)(-z)}{xyz} = -1 $ :) |
นึกได้อีกข้อครับ
$\frac{A}{B} -\frac{1}{2} =\frac{(A-1)}{(B-2)}$ จงหาค่าต่ำสุดของ $A^2+B^2 $ |
อ้างอิง:
จัดรูปสมการได้เป็น $B^2-4B+4A=0$ จะเห็นว่า $B$ เป็นจำนวนเต็มคู่ สมมติ $B=2C$ จะได้ $(A,B)=(2C-C^2,2C)$ เมื่อ $C$ เป็นจำนวนเต็ม จะพบว่า $C\neq 0,1$ ดังนั้นคู่อันดับที่เป็นไปได้คือ $(A,B)=(0,4), (-3,6), (-3,-2),...$ จะได้ว่า $A^2+B^2$ มีค่าต่ำสุดคือ $(-3)^2+(-2)^2=13$ |
อ้างอิง:
กำหนด $a_0=20$ $a_1=14$ และ $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ และ $n=1,2,3,4,...,2014$ จงหา $a_1+a_2+a_3+...+a_{2014}$ |
$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$
$a_{n+3}=a_{n+2}-a_{n+1}$ $a_{n+4}=a_{n+3}-a_{n+2}$ $a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4}=a_{n+3}-a_n$ $a_{n+2}+a_{n+4}+a_n=0$ $n=1,a_1+a_3+a_5=0$ $n=2,a_2+a_4+a_6=0$ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0$ $n=7,a_7+a_9+a_{11}=0$ $n=8,a_8+a_{10}+a_{12}=0$ $a_7+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}=0$ ผลบวกทีละ 6 พจน์เป็นศูนย์ ดังนั้นเหลือเศษคือ $a_{2014}+a_{2013}+a_{2012}+a_{2011}$ รู้ว่า $a_{2014}+a_{2012}+a_{2010}=0$ $a_{2013}+a_{2011}+a_{2009}=0$ $a_{2014}+a_{2013}+a_{2012}+a_{2011}=-(a_{2009}+a_{2010})$ $a_{n+3}=-a_n$ $-a_{n+3}=a_{n+6}=a_n$ แสดงว่าเครื่องหมายของพจน์ $a_n$ กับ $a_{n+6}$ เหมือนกัน $a_{2009}=-a_{2006}$ $2009=5+6(334)$ แสดงว่า $a_{2009}$ มีเครื่องหมายตรงกับ $a_5$และ $a_5=(-a_2)$ $a_{2010}=a_{2007}=...=a_0$ $a_{2010}$ มีเครื่องหมายตรงกับ $a_0$ $-(a_{2009}+a_{2010})=-(a_0-a_2)$ $a_2=a_1-a_0=14-20=(-6)$ $-(a_{2009}+a_{2010})=-(a_0-a_2)=-(20+6)=(-26)$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:48 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha