สอวน ฟิสิกส์ ข้อที่เกี่ยวกับเลข คิดไม่ออกครับ
 

โจทย์คือ

บ้านกับโรงเรียนอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง L รถของเราเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ในการวิ่งจากบ้านไปโรงเรียน
ถ้ากำหนดในทีนี้ว่า อัตราการเผาผลาญน้ำมันเชื้อเพลิงของรถคือ R ซึ่ง

$ R = Av^2 + B $

A กับ B เป็นค่าคงที่สำหรับรถ

จงหาค่าความเร็ว $ v_m $ ของรถ ที่ทำให้หมดเปลืองเชื้อเพลิงน้อยที่สุดในการวิ่งจากบ้านไปโรงเรียน (ตอบในรูปของ A กับ B)

คำแนะนำ ฟังก์ชัน $ y(x) = ax + \frac{b}{x} $ มีค่าเล็กสุดที่ $ x_m $ เป็นรากสองรากที่ค่าเท่ากันของสมการ
$ a(x_m)^2 - y_m x_m + b = 0 $

หมายเหตุ ไม่มีความจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์สูงกว่านี้




ฝากช่วยคิดนะครับ เพื่อนผมไปสอบมา แล้วเอามาถาม แต่ผมก็คิดไม่ออกครับ ขอบคุณครับ

ปริมาณเชื้อเพลิง $= Rt = (Av^2 + B) \cdot \frac{L}{v} = L(Av + \frac{B}{v})$ มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $Av = \frac{B}{v} \iff v = \sqrt{\frac{B}{A}}$

รบกวนช่วยขยายความตรง มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $Av = \frac{B}{v} $ ด้วยครับ ขอบคุณครับ

วิธีที่ 1. สมมติว่า A กับ B เป็นจำนวนบวกทั้งคู่

เนื่องจาก $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0 \Rightarrow \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ โดยเป็นสมการเมื่อ $a = b$ (อสมการ AM-GM. 2 ตัวแปรนั่นเอง)

ดังนั้น $L(Av+\frac{B}{v}) \ge L(2\sqrt{Av \cdot \frac{B}{v}}) = 2L\sqrt{AB}$

นั่นคือค่าต่ำสุดของ $Rt$ คือ $2L\sqrt{AB}$ ซึ่งจะเกิดเมื่อ เป็นสมการ นั่นคือ $Av = \frac{B}{v}$

วิธีที่ 2. ทำตามที่โจทย์แนะนำคือ

ดังนั้นให้ $C = Rt = L(Av+\frac{B}{v})$ จัดรูปได้เป็น $(LA)v^2 - Cv + BL= 0$

แล้ว $v = \frac{C \pm \sqrt{C^2-4(LA)(BL)}}{2LA}$

ถ้ารากทั้งสองของ v มีค่าเท่ากัน แสดงว่า $C^2 = 4L^2AB \Rightarrow C = 2L\sqrt{AB}$

ดังนั้น $v = \frac{C}{2LA} = \frac{2L\sqrt{AB}}{2LA} = \sqrt{\frac{B}{A}}$

ละเอียดเลยครับ ขอบคุณครับ