Mathcenter Forum - โจทย์สิรินธรปี 53

1.ข้อใดเป็นจำนวนทั้งหมดของจำนวนนับ n ที่ทำให้ ยังคงเป็นจำนวนเต็ม$\frac{140}{2n-1}$

2.ให้ A,B,C และ D เป็นจุดสี่จุดวางเรียงตามลำดับตัวอักษร อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันโดยมีอัตราส่วนของระยะห่างระหว่างจุดที่เรียงกันกำหนดไว้ว่า AB:AC=1:3 และ BC:CD=5:8 แล้วจงหา AC:CD

3.วงกลม O มี O เป็นจุดศูนย์กลาง จาก A ซึ่งเป็นจุดภายนอกวงกลมลากเส้นสัมผัสวงกลม O ที่ B และลากเส้นตรงจาก A ผ่าน O พบเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่งที่ D และให้ C เป็นจุดบนด้าน BDซึ่งทำให้ ACB=$45^°$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.∠BAC=∠DAC
ข.ถ้าเส้นตรง AD พบเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่งที่ F แล้วAD∙AF=${AB}^2$
ข้อความใดถูกขอ้ความใดผิด

4.กานดา ขนิษฐา คะนึงนิจ และงามจิต ร่วมกันลงทุนเปิดร้านสะดวกซื้อแห่งหนึ่งและเมื่อเข่าไปสอบถามถึงสัดส่วนการลงทุนก็ได้รับคำตอบดังนี้
กานดา ?ฉันลงทุนมากกว่าขนิษฐา?
ขนิษฐา ?คะนึงนิจลงทุนน้อยกว่าฉัน?
คะนึงนิจ ?กานดาลงทุนน้อยกว่าฉัน?
งามจิต ?ผลรวมการลงทุนของขนิษฐากับขะนึงนิจเป็นสองเท่าของกานดา?
ถ้าเราทราบว่าในสี่คนนี้มีอยู่เพียงคนหนึ่งที่พูดเท็จ แล้วใครพูดเท็จ

5.ข้อใดคือหลักหน่วยของ $\frac{4^{2010}}{2}$

6.สามเหลี่ยมหน้าจั่ว T มีมุมยอดเป็นมุมฉากและแนบในวงกลม P ที่มีรัศมี R ถ้าครึ่งวงกลม Q แนบในสามเหลี่ยม T โดยเส้นผ่านศูนย์กลางของ Q วางอยู่บนด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งของ T และปรากฎว่ารัศมีของ Q เท่ากับ rแล้ว$\frac{r}{R}$ เท่ากับเท่าไร

7.ทางหลวงระหว่างเมืองโย้กับเมืองเย้เป็นเส้นตรง นายสุกอยู่เมืองโย้ ส่วนนายดิบอยู่ที่เมืองเย้ วันหนึงคนทั้งสองออกจากบ้านพร้อมกันและต่างก็ขับรถด้วยอัตราเร็วคงที่ เพื่อมุ่งตรงไปยังเมืองตรงข้ามของแต่ละคน ปรากฎว่าคนทั้งสองขับรถสวนกันเวลาเที่ยงตรงพอดี หลังจากนั้นนายสุกก็ขับรถถึงเมืองเย้เวลา 13.30 น. ส่วนนายดิบถึงเมืองโย้เวลา 20.10 น.พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.นายสุกขับรถด้วยอัตราเร็วเป็นสองเท่าของอัตราเร็วที่นายดิบใช้ขับรถ
ข.คนทั้งสองออกจากบ้านพร้อมกันเวลา 8.30 น.
ข้อใดถูกข้อใดผิด

8.วงกลมวงหนึ่งมี O เป็นจุดศูนย์กลางและ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า C เป็นจุดบนเส้นรอบวงซึ่งเมื่อลากเส้นจาก C มา ตั้งฉาก AB ที่ D แล้วทำให้ AD=DO ดังนั้น AC:CB เท่ากับเท่าไร

9.ระยะทางที่สั้นที่สุดในระนาบจากจุดพิกัด (4,4) ไปยังจุดพิกัด(8,1) โดยที่ทางนั้นต้องผ่านหรือสัมผัสแกน X และแกนYเท่ากับเท่าไร

11.การสอบเก็บคะแนนในปีการศึกษาหนึ่งของเด็กหญิงบงกช ปรากฎว่าเด็กหญิงบงกชได้คะแนนสอบก่อนการสอบครั้งสุดท้าย 98 คะแนน ซึ่งทำให้คะแนนเฉลี่ยของเธอเพิ่มขึ้น 1 คะแนนและในการสอบครั้งสุดท้ายเด็กหญิงบงกชทำคะแนนได้ 70 คะแนน ทำให้คะแนนเฉลี่ยของเธอลดลง 2 คะแนน แล้วเธอสอบเก็บคะแนนไปกี่ครั้งในปีการศึกษานั้น

12.คุณยายชาทำพิซซ่าบนถาดวงกลมเพื่อแบ่งให้หลานๆหกคนรับประทานด้วยส่วนแบ่งเท่าๆกันแต่หลานของคุณยายชาแต่ละคนไม่ชอบทานส่วนขอบคุณยายชส จึงแบ่งพิซซ่าด้วยการสร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมของพิซซ่าและให้หลานแต่ละคนได้รับส่วนแบ่งเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านเท ่ากับแต่ละด้านของรูปหกเหลี่ยม ส่วนคุณยายก็จะทานเฉพาะขอบที่เหลือของพิซซ่า พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. หลานๆของคุณยายชาได้ทานพิซซ่าคนละไม่เกิน
ข. หลานๆแต่ละคนได้ทานพิซซ่าน้อยกว่าคุณยายชา
ข้อใดถูกข้อใดผิด
(จบตอนที่ 1)

14.ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วค่ามากสุดของ m+n ที่ทำให้ $\frac{2}{3}\prec \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\prec 1$ เท่ากับเท่าใด

โพสครั้งแรกผิดพลาดก็ขอโทษด้วย(ช่วยเฉลยข้อ 14หน่อยครับ)

1.ให้ N เป็นจำนวนบวกสามหลักเมื่อลบออกด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสามหลักที่มีหลักทั้งสามเป็นเลขโดดตัวเดียวกัน แล้วจะมีจำนวน N ซึ่งมีสมบัติดังกล่าวที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่จำนวน

2.ถ้า ∆PQR เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน PQ เป็นค่าเฉลี่ยของความยาวด้านอีกสองด้านที่เหลือแล้วอัตราส่วนอย่างต่ำของ PQ:QR:RP ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใดบ้าง

3.เด็กหญิงนงนุชชกำลังจะบริจาคเงินให้องค์กรการกุศลต่างๆ ด้วยเงินจำนวนหนึ่ง ปรากฎว่าถ้าเด็กหญิงนงนุชบริจาคองค์กรละ 25 บาท เด็กหญิงนงนุชจะขาดเงิน 10 บาท แต่ถ้าเด็กหญิงนงนุชบริจาคองค์กรละ 20 บาท เด็กหญิงนงนุชจะมีเงินเหลืออีก 25 บาท เด็กหญิงนงนุชมีเงินสำหรับบริจาคเท่ากับเท่าใด

4.จะมีจำนวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มหน่วยในตาราง 8×8 ตารางหน่วยทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

5.นายสมบัติมีท่อนเหล็กซึ่งมีลักษณะเหมือนกันอยู่ 3 ขนาด ขนาดละ 3 ท่อน คือยาว 1,3 และ 4 ฟุต ถ้านายสมบัตินำท่อนเหล็กเหล่านี้มาประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมโดยให้ท่อนเหล็กขนาดต่างๆเหล่านี้เป็นด้านของสามเหลี่ยม แล้วจำนวนสามเหลี่ยมที่แตกต่างกันที่นายสมบัติจะสามรถสร้างได้จากท่อนเหล็กนี้ เท่ากับเท่าใด

6.นายศักดิ์ทำงานโรงงานแห่งหนึ่งซึ่งให้เงินเดือนสูงกว่าเงินเดือนขั้นต่ำที่รัฐบาลกำหนด 25% แต่มีเงื่อนไขว่า ถ้าพนักงานคนใดทำงานไม่ได้ปริมาณงานตามที่กำหนดในเดือนจะถูกลดเงินเดือนนั้นลง 12% ปรากฎว่าในพฤศจิกายนที่ผ่านมานายศักดิ์ต้องกลับไปเยี่ยมบิดาซึ่งป่วยอยู่ต่างจังหวัดเป็นเวลาหลายวัน ทำให้ตลอดเดือนพฤศจิกายนนายศักดิ์ทำงานไม่ได้ปริมาณงานตามที่กำหนดและได้รับเงินเดือน เดือนพฤศจิกายนเป็นเงิน 13,200 บาท แล้วเดือนพฤศจิกายน นายศักดิ์ได้รับเงินเดือนน้อยกว่าปกติเท่ากับเท่าใด

7.การเล่นเกมต่อช่องสี่เหลี่ยมให้เป็นรูปปิรามิดดังแผนภาพ เราจะต้องนำจำนวนใส่ลงในแต่ละช่องสี่เหลี่ยมของปิรามิด โดยให้ผลรวมของจำนวนในช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันในแถวเดียวกันเท่ากับจำนวนในช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่เหนือช่องสี่เหลี่ยมทั้งสองนั้น ตัวอย่างเช่น a + b = c เป็นต้น
Attachment 5050
ถ้าทราบว่าช่องสี่เหลี่ยมบนสุดของปิรามิดใส่จำนวน 25 และจำนวนที่ใส่ลงในช่องสี่เหลี่ยมของปิรามิดแถวที่สามนับาจากบนสุดทุกช่องมีผลรวมเป็น 17 แล้วผลรวมของจำนวนที่จะใส่ลงในช่องสี่เหลี่ยมของปิรามิดแถวที่สี่ทุกช่องเท่ากับเท่าใด

8.กำหนดให้สมการ $x^2-\sqrt{10}x + 1 = 0$ เป็นจริงแล้ว $\frac{x^8+x^6+x^2+1}{x^4}$ เท่ากับเท่าใด

9.จากรูปถ้า∎ADFE สามารถแนบในวงกลม
∠$\angle FBG=∠\angle GBD=2\angle ∠FCG=2∠\angle GCE $และ $∠\angle BAC = 60^°$ แล้ว $\angle BGC$ เท่ากับเท่าใด
Attachment 5051

10.ให้ a เป็นจำนวนจริงคงค่าและ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองซึ่งสอดคล้องสมบัติว่า $P(x)$ ไม่เป็นจำนวนลบสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ โดยที่ $P(a)=0$ และ $P(a+1)=\frac {1}{5}$ แล้ว
$P(a+1)+P(a+2)+⋯...+P(a+30)$ เท่ากับเท่าใด

11.วงกลมวงหนึ่งแนบใน $\bigtriangleup PQR$ โดยสัมผัสด้าน $PQ$ และ $QR$ ที่ $A$ และ $B$ ตามลำดับ $X$ เป็นจุดบนเส้นรอบวงด้านจุดยอด $Q$ ของ $\bigtriangleup PQR$ เส้นตรง $XY$ ตั้งฉาก $AQ$ ที่ $Y$ และเส้นตรง $XZ$ ตั้งฉากกับคอร์ด $AB$ ที่ $Z$ ถ้า $PQ=20,QR=24,RP=16,XY=4$ และ $XZ=6$ แล้วพื้นที่ของ $\bigtriangleup QXB$ เท่ากับเท่าใด

12.ถ้าคุณลบเวลาตอนนี้ด้วย 1 ใน 6 ของเวลาจากตอนนี้ไปถึงเที่ยงพรุ่งนี้ คุณจะได้ 1 ใน 3 ของเวลาจากเที่ยงวันนี้ถึงเวลาตอนนี้ แล้วเวลาตอนนี้ ที่กล่าวคือเวลาอะไร

13. ∎$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมุมที่จุดยอด $A$ และ $D$ เป็นมุมฉาก ถ้าวงกลมรัศมียาว 1 เมตร สามารถแนบใน∎ $ABCD$ โดยสัมผัสด้าน $CD,DA,AB$ และ $BC$ ที่ $E,F,G$ และ $H$ ตามลำดับซึ่งทำให้ $CE:ED=1:2$ และ $CH:HB=\frac{2}{3}:5$ แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ เท่ากับเท่าใด

15.กำหนดจำนวนและรหัสของจำนวนที่สมนัยกัน แสดงดังตารางข้างล่างนี้
Attachment 5052
แล้วจำนวนที่มีรหัสเป็น 485 คือจำนวนใด

16.
Attachment 5053
จากรูปกำหนดให้ $AB=AD$ และ $BD=AC$ แล้ว $∠ \angle BCD$ เท่ากับเท่าใด

10.ข้อใดคือผลบวกของ
$\frac{1}{2x(2x+2)}+\frac{1}{(2x+2)(2x+4)}+\frac {1}{(2x+4)(2x+6)}+...+\frac{1}{(2x+198)(2x+200)}$