ข้อสอบ เรขา SMO 2010
 

The incircle of triangle $ABC$ touches $BC$ at $D$ and $AB$ at $F$, intersects the line $AD$ again at $H$ and the line $CF$ again at $K$. Prove that $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$
ช่วยคิด หน่อยครับ คือ ในmathlink เฉลยใช้วิธี harmonic อ่ะครับ เเล้วผมไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ ac=bd เมื่อ a,b,c,d เป็นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมฮาร์มอนิกอ่ะครับ
คือใน mathlink เเสดงวิธีทำอย่างนี้ครับ
Let $E$ is the intersection of $(I)$ with $AC$.
Easy to see that quadrilateral $FHED$ and $FEKD$ is harmonic.Use harmonic quadrilateral propeties and Ptoleme theorem we have
So we have $2EK.FD=2EF.DK=ED.FK$
and $2HF.DE=2HE.DF=HD.EF$
multiply two side of each indentity : $4.(HF.DE).(EF.DK)=(HD.EF).(ED.FK)$
or $HD.FK=4FH.DK$
Use again Ptoleme theorem for $FHDK$ we imply $FD.HK=3 FH.DK$.

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของ harmonic quadrilateral เพื่อพิสูจน์ดูครับ

ลองสามเหลี่ยมคล้ายก็ได้ฮะ ถึกหน่อยแต่ก็หลุดได้ครับ

ปัญหาคือผมสงสัยว่า harmonic นี่คุณสมบัติมันควรจะเป็นจุด A,C อยู่บน เส้นทเเยงมุมของ สี่เหลี่ยมharmonic นั้นๆ ไม่ใช่หรอครับ ???
ปล. ความจริงผมทำได้หมดอ่ะครับ ติดเเต่ปัญหาที่ผมเขียนไว้ด้านบน
ปล.2 ผมใช้ ซิมมีเดียน ยัดเข้าไปครับ