โจทย์เล็กๆน้อยๆ
 

ข้อสอบคัดเลือกค่าย 1 สอวน. ศูนย์ สจพ. (เก็บมาเท่าที่จำได้- ขาดไป 2 ข้อ)

(1)
1.1 เด็กชายก้อง ต้องการพิสูจน์ข้อความ pฎ(qซr) โดยการไปพิสูจน์ข้อความ (pูq)ฎ r และ (pูr)ฎ q แทน ถามว่าสิ่งที่เด็กชายก้องทำถูกต้องหรือไม่
1.2 กำหนดให้ a^1/3 + b^1/3 + c^1/3 = 0 แล้ว จงแสดงว่า (a+b+c)³ - 27abc = 0

(2) จงใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ 1 + 1/ึ2 + 1/ึ3 + ... + 1/ึn > ึn เมื่อ n = 2,3,4,...

(3)
3.1 กำหนดให้ a,b,c เป้นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ จงแสดงว่า (xy)^-1 = x^-1y^-1
3.2 กำหนดให้ S ฬ R โดยที่ S น ฦ และ มี sup S จงแสดงว่า จะมี sup S ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
3.3 ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของ R และ A เป็นสับเซตของ B จงแสดงว่า inf A ฃ inf B
3.4 A = { (n+1)/n เมื่อ n = 1,2,3,4,...} จงหา glb A , lub A , max A , min A
3.5 สัจพจน์ความบริบูรณ์กล่าวว่า.........
3.6 หลักอาร์คีมีดีส กล่าวว่า .........
3.7 เซตของจำนวนเต็มหนาแน่นใน R หรือไม่ ...... เพราะ ....................

(4) จงหารากที่สามของ -8 ในรูป a+bi และนำค่าที่ได้ไปแก้สมการ (z+1)³+8z³ = 0

(5) จงหาค่าของ A และ B เมื่อกำหนด (1+tanX)/(1-tanX) = (A+BcosXsinX)/(sin²X-cos²X)

(6) ให้ a = log₃ ึ7+4ึ3 แล้ว จงหาค่าของ ( 3^a - 3^-a ) / ( 3 ^2a - 3^-2a)

(7) จงแสดงว่า 30 หาร n⁵ - n ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

(8) จงแสดงว่า [n,n+2] = (n(n+2))/2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่

(9) มีโจทย์คณิตศาสตร์โอลิมปิก 10 ข้อ ต้องการแบ่งโจทย์ให้เด็ก 3 คน โดยมีเงื่อนไขว่า แต่ละคนจะต้องได้รับโจทย์อย่างน้อย 3 ข้อ จงหาวิธีการแบ่งทั้งหมด

(10) จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกตัวอักษร 5 ตัวจาก KING MONGKUTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY NORTH BANGKOK มาเรียงเป็นคำใหม่ โดยไม่คำนึงถึงความหมาย

(11) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่ฐาน 22.5 องศา และ 112.5 องศา จงแสดงว่า ความสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวฐาน

เอาเท่าที่ว่างทดก่อนนะครับ

1.1 ประพจน์ทั้งสองสมมูลกัน
1.2 ใช้เอกลักษณ์ a³+b³+c³=3abc
4. รากที่สามทั้งสามตัวคือ -2,\(\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{3}i)\) ซึ่งจะได้รากของสมการเป็น \(-\frac{1}{3},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}i\)
6. จากโจทย์จะได้ \(3^a=2+\sqrt{3}\) ซึ่งทำให้เทอมที่ต้องการหาค่าเป็น 0.25
7. ง่ายที่สุดทำโดยแยกตัวประกอบแล้วแจงกรณี mod 5

มาเพิ่มคำตอบ(คร่าวๆ)ครับ อย่าเชื่อจนกว่าจะทดแล้วได้คำตอบเอง

2. n=2: อสมการเป็นจริงจาก \(\sqrt{2}+1>2\)
n=k->k+1: ให้อสมการเป็นจริงสำหรับ n=3,...,k จะได้ว่าข้อความที่ให้เป็นจริงจาก \[\sqrt{k+1}\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{i}}+1
>\sqrt{k+1}\sqrt{k}+1>k+1\]

5. จัดทางซ้ายมือให้อยู่ในรูป cos และ sin แล้วคูณตลอดด้วยตัวส่วนทางขวา เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ A=-1, B=-2

8. ห.ร.ม.ของสองจำนวนนี้คือ 2 ดังนั้น ค.ร.น=ผลคูณ/ห.ร.ม.=n(n+2)/2

9. เด็กหนึ่งคนจะเลือกโจทย์ได้ 2¹⁰-C(10,0)-C(10,1)-C(10,2)=968 แบบ สามคนก็ 2904 แบบ

11. ก่อนอื่นใช้สูตร \(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\) ได้ \(\tan{\frac{45}{2}}=\sqrt{2}-1\) ต่อฐานสามเหลี่ยมไปตั้งฉากกับสูงตรง แล้วใช้สมบัติสามเหลี่ยมคล้ายหาอัตราส่วนระหว่างฐานกับสูงตรง

ข้อ 7 จาก n⁵-n จัดรูปใหม่ จะได้
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n)(n-1)(n+1)
เนื่องจาก 30 หาร (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) และ 5(n)(n-1)(n+1) ลงตัว
ทำให้ได้ 30 หาร (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n)(n-1)(n+1) ลงตัว
\ 30 หาร n⁵-n ลงตัว

* 30 หาร (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) ลงตัว เพราะ 2,3 และ 5 หาร (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) ลงตัว
30 หาร 5(n)(n-1)(n+1) ลงตัว เพราะ 2,3 และ 5 หาร 5(n)(n-1)(n+1) ลงตัว
n⁵-n = n(n²-1)(n²+1)
= n(n-1)(n+1)(n²+1)
= n(n-1)(n+1)(n²-4+5)
= n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)
= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

ดีจังมนต์ชัยได้ลงอีกปี ผมต้องไปลงฟิสิกส์แทน โชคดีที่ม.นเรศวรนะ

ข้อ 10

มโหฬาร คำตอบ(คิดว่าถูกนะคับ)

$ \frac{45!}{2!2!2!2!2!3!4!4!6!6!7!}$

คำตอบผิดน่ะครับ เพราะ โจทย์บอกให้เรียงทีละ 5 ตัว นะครับ

ข้อ 10 ตอบ $\binom{45}{5}$ เฉยๆหรึอเปล่าครับ

ถ้าผิดรบกวนแสดงให้ดูด้วยนะครับ

$\binom{45}{5}$ เป็นแค่การเลือกตัวอักษร 5 ตัว จากทั้งหมด 45 ตัวครับ
ข้อ 10. น่าจะแบ่งกรณีน่ะครับ ตั้งแต่กรณีที่ไม่มีตัวซ้ำ , มีตัวซ้ำ 2 ตัว 1 ชนิด , มีตัวซ้ำ 2 ตัว 2 ชนิด , ... ไปจนถึงซ้ำทั้ง 5 ตัวครับ

ตามที่คุณ Mathopile บอก ถูกต้องนะคร้าบ ถึกเอาเรื่องเลยทีเดียว

ขอบคุณมากๆครับ