สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2556
 

ช่วยเฉลยให้ทีครับ

ช่วยกันเฉลยนะคับ :)

ข้อ5ผมตอบ ค. จาก r2 (x,y)=(-3/2,2)ชุดเดียว เเทนค่า r1 เเล้วจริง

ข้อ 28 f(100)= 62307152908
แต่สัมประสิทธิ์ต้องเป็นจน.เต็มบวก
=6*$10^5 + 23$10^4 + 7 $10^3 + 15 $10^2 + 29*10 + 8
ลองเปลี่ยน f(100) เป็น f(1) ได้ 88 จริง
ฉะนั้น f(-1) = -6 + 23 - 7 +15 -29 +8 = 4

2)

1. ญาญ่าประเมินผิด ดังนั้น ญาญ่าทำได้อย่างน้อย 6 ข้อ

2. อาจารย์ประเมินผิด ดังนั้น ทั้งสามคน ทำได้ไม่เกิน 18 ข้อ

จาก 1 กับ 2 จะได้ว่า ณเดชน์ กับ เจเจ ทำได้ไม่เกิน 12 ข้อ

3. เจเจประเมินผิด ดังนั้น เจเจ ทำได้มากกว่า ณเดชณ์ ซึ่งทำให้ ณเดชน์ ทำได้ไม่ถึง 6 ข้อ

ดังนั้น

ณเดชน์ < เจเจ

ณเดชน์ < ญาญ่า


สรุป ณเดชณ์ ทำได้น้อยสุด


4)

$2*2 = (1*2)+\frac{1}{2}$

$\therefore 1 = (1*2)$


$1^2*2 = (2^2*1)$

$\therefore 1 = (4*1)$


$4*1 = (2*1)+\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{1}{2} = (2*1)$


$2*1 = (1*1)+\frac{1}{2}$

$\therefore 0 = (1*1)$

6)

$$2 + \sqrt{-(2^{2x} - 2^y)^2} = log_3 (x+y)$$

$$\therefore (2^{2x} - 2^y) = 0$$

$$ 2x = y$$



$$ 2 = log_3 (3x)$$

$$3^2 = 3x$$

$$x = 3$$

$$y = 6$$

$$x^2 + y = 3^2 + 6 = 15$$

จาก 4sin20+tan20
ได้ 4sin20+(sin20/cos20)
=( 4sin20cos20+sin20)/cos20
= (2sin40+sin20)/cos20
= [sin40+(sin40+sin20)]/cos20
=[sin40+2sin30cos10]/cos20
= [sin40+cos10]/cos20
= [sin40+sin80]/cos20
= 2sin60cos(-20)/cos20
= 2sin60=3^1/2

1. ค
2. ก
3. ก
4. ก
5. ค
6. ค
7. ค
8. ค
9. ค
10. ก
11. ง
12. ค
13. ค
14. ก
15. ค
16. 80
17. 4
18. 6
19. 24
20. 2559
21. 66
22. 174 cm,4 cm
23. $\dfrac{2}{3}$
24. $\dfrac{7}{9}$
25. $\sqrt{3}$
26. $\dfrac{1}{2}$
27. $y=-x+\dfrac{5}{2}$
28. $4$
29. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
30. $(1,\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$
31. $(2,-2,2),(-3,1,2),(2,1,2),(-3,-2,2)$
32. $151$
33. $0$
34. $\dfrac{9}{2}$
35. ดูข้างล่าง :):)

(อันนี้ไม่ได้ทำเองทั้งหมดครับ) ถ้ามีข้อไหนที่คิดว่าไม่ถูกต้องก็บอกมาได้ครับ
$

ข้อ 34 ไม่ได้ 2.25 เหรอคับ

ข้อเจ็ด
ตอบ ค)
$A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$
$(A\cap B)-(A\cap C)=(A\cap B)\cap (A'\cup C')$
$ =(A\cap B\cap A')\cup (A\cap B\cap C')$
$ =\varnothing \cup (A\cap B\cap C')$
$ =A\cap (B-C)$

ลองแสดงวิธีให้ดูหน่อยครับ

ผมได้ 2.25 เหมือนกันครับ $(1+1006\cdot 2012)^2$ ควรจะเป็น $(1+1006/2012)^2$ รึเปล่าครับ

ข้อ 35 (Me and Mr. Varodom (sophomore at USA) )
ขอตอบแบบใช้อาวุธหนักในมหาวิทยาลัย ผสมวิธี ม.ปลายตอนท้ายนะครับ

ดังนั้น ถ้าใครมีวิธีที่ โหดน้อยกว่านี้ ก็ post ได้ตามสะดวกครับ

--------------------------------------------------------------------
ข้อนี้ เราแบ่งเป็น 2 กรณี

กรณี 1: ถ้า $ 0 \not\in A $

จาก C-{0} เป็น group under multiplication , และ เงื่อนไขของ A finite set + closed under multiplication ดังนั้น A เป็น subgroup ของ C-{0} (Well-known lemma in group theory)

จะพิสูจน์ว่า A อยู่ใน form $ \{ 1, w, w^2 ,...,w^9 \}$ โดย $ w^{10} =1 $ (order ของ w เท่ากับ 10)

By contradiction สมมติให้ มี $w \neq 1 $ ที่ order ของ w ไม่เป็น 10

ดังนั้น order ของ w เป็น 2 or 5 นั่นคือ $ w= -1 $ or $ w^5 =1 $

เท่ากับว่า $ A=\{ 1, w,w^2,...w^4 ,-1,...\} $ เมื่อ $ w^5 =1$ ดังนั้น $ (-1)(w) =-w \in A $ และต่างจากสมาชิกก่อนหน้า

ดังนั้น order ของ -w = 5 $\Rightarrow (-w)^5 = -w^5 \neq 1 $ Contradiction

ดังนั้น A อยู่ใน form $ \{ 1, w, w^2 ,...,w^9 \}$ โดย $ w^{10} =1 $ (โดย order ของ w คือ 10)


ใน sense ของเรขาคณิต สามารถแทนสมาชิกใน A ด้วยจุดมุมของ regular 10-gons ในวงกลม 1 หน่วย

ดังนั้น f(A) ก็คือผลคูณความยาวเส้นทแยงมุมและด้านทั้งหมดของ regular 10-gons

ยึด 1 เป็นหลัก จากนั้นหา $ |1-w| \cdot |1-w^2|....\cdot|1-w^9| $

โดยพิจารณา $ z^9+z^8+...+z+1= (z-w)(z-w^2)....(z-w^9) $

แทน z=1 ได้ 10 จากนั้น rotate จุดมุมอื่นมาทับ 1 แล้วทำเหมือนเดิม พอคูณกันหมดจะได้ $10^{10} $

แต่ 1 เส้นถูกคูณ 2ครั้ง ก็เลยต้องถอด root จะได้ $ f(A) = \sqrt{10^{10}} $


กรณี 2: ถ้า $ 0 \in A $

ดังนั้น A-{0} เป็น subgroup ของ C-{0} เหมือนในกรณีที่ 1

ทำคล้ายกรณีที่ 1 จะได้ $ A = \{ 0 ,1,w,w^2,...,w^8 \} $ โดย $ w^{9} =1 \,\, , w \neq 1$

(ถ้าไม่จริง แสดงว่ามี order ของ g เท่ากับ 3 ซึ่งก็คือ $ \omega , \omega^2$ ทำให้สมาชิกใน A ไม่ถึง 10 )

ดังนั้น $ f(A)= \sqrt{9^9}$

สรุปว่า คำตอบข้อนี้ คือ $ \sqrt{10^{10}} + \sqrt{9^9}$

-----------------------------------------------------------------------------------

p.s. หวังว่าจะไม่มี flaw ในวิธีทำ :laugh:

ข้อ 28 น่ารักดีครับ


เงื่อนไข p(1) =88 บอกให้รู้ว่าผลรวม สปส. เท่ากับ 88 ดังนั้น ทุก สปส. < 88

ถ้าเขียน p(100) ในฐาน 100 จะได้ (6)(23)(7)(15)(29)(8) ในฐาน 100

แต่เลขฐาน 100 เขียนได้ form เดียว และ p(1) =88 ด้งนั้น

$ p(x) = 6x^5+23x^4+7x^3+15x^2+29x+8 $

ขอแนวคิดข้อ 20 หน่อยครับ ว่าจำนวนคำตอบของสมการเท่ากับเท่าไหร่?