จำนวนเฉพาะ
มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป n^2+1 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ อยู่เป็นอนันต์หรื่อไม่
แสดงวิธีหาคำตอบ :happy::happy: |
ข้อนี้เป็น open problem อยู่ครับ
|
ถ้ามีคนรู้แล้วมันจะเอามาออกIMOมั้ยครับเนี่ย
|
จริงๆแล้วโจทย์ IMO #3 ปีนี้จะ trivial ไปเลยถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่า
มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k^2+1$ เป็นจำนวนอนันต์ ครับ :great: |
อ้างอิง:
|
ถ้าผมพิสูจน็ได้คงไม่ต้องมาถามคนเก่งอย่างพี่ๆ หรอกครับ
|
คุณ mathstudent2 บอกผมว่าทำได้แล้วไม่ใช่เหรอครับ
เอาวิธีทำมาลงเลยครับ 555 |
สมมุติว่ามี prime ที่เขียนในรูป $n_i^2+1$ เป็นจำนวนจำกัด ให้เป็น
$p_1,p_2,...,p_k$ ให้ $a_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เหลือที่ไม่ใช่ $p_1,...,p_k$ เห็นได้ว่า $(p_1p_2...p_ka_1a_2...)^2+1$ เป็น prime เกิดข้อขัดแย้ง (พูดเล่นครับ) |
อ้างอิง:
|
ใครคิดได้โคตรเก่งเลยครับ ขอคารวะเลย :great:
|
ผมไม่มั่นใจนะครับให้พวกพี่ช่วย check อีกทีแล้วกัน
ให้ P1<P2<P3<......<Pm เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เขียนในรูป n^2+1 กำหนด N(m+1) เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนท่ีมีค่า น้อยกว่า หรือ เท่ากับ Pm สร้าง {N(m+1)}^2 +1 จะได้ว่าจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2,3,5,.....,Pm หาร {N(m+1)}^2 +1 เหลือเศษ 1 ซึ่ง square root {N(m+1)}^2 +1 > N(m+1) ดังนั้น {N(m+1)}^2 +1 เป็นจำนวนเฉพาะ นั่นคือ N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีจำกัด ขัดแย้ง ไดว่า N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์ *-* *-* |
อ้างอิง:
|
เออ...
สมมุติ $p_1,p_2,...p_m$ คือจำนวนเฉพาะที่เขียนได้ในรูป $n^2+1$ แล้วให้ $a_1,a_2,...,a_s$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในรูป $n^2+1$ ที่มีค่าน้อยกว่า $p_m$ คือจะให้ $(p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s)^2+1$ เป็น prime แล้วเช็คตัวที่หารลงตัวที่น้อยกว่า $p_m$ ไม่ได้ เพราะว่ามันอาจมีจำนวนเฉพาะ q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า $p_m< q <p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s$ :) |
ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่าถ้า
$P_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $P_1 =2 $ และ $P_1<P_2<P_3<...<P_n$ แล้ว $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n จากทฤษฎีบทของจำนวนว่า n จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะ ที่มีค่า ตั้งแต่ 2 ถึง $\sqrt{n}$ ไม่สามารถหาร n ลงตัว พิจารณา ให้ $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1=k$ จะได้ $k-1\equiv 0 \pmod{P_1}$ $k \equiv 1 \pmod{P_1}$ $k-1 \equiv 0 \pmod{P_2}$ $ k \equiv 1 \pmod{P_2}$ $k-1 \equiv 0 \pmod{P_3}$ $k \equiv 1 \pmod{P_3}$ ..... $k-1 \equiv 0 \pmod{P_n}$ $k \equiv 1 \pmod{P_n}$ นั่นคือ จำนวนเฉพาะตั้งแต่ $2-\sqrt{k}$ ไม่สามารถหาร k ลงตัว (เหลือเศษ 1 ) ดังนั้น $k$ เป็นจำนวนเฉพาะ พูดง่ายๆก็คือ เช่น $2^2+1=5$ เป็นจำนวนเฉพาะ นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-5 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป $(2x3x5)^2+1=901$ เป็นจำนวนเฉพาะ นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-901 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป $(2x3x5x7x....x901)^2+1 = m$ เป็นจำนวนเฉพาะ นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-m มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป $(2x3x5x7x...xm)^2+1=n$ แล้วก็นำจำนวนเฉพาะจาก 2-n มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป ไปเรื่อยๆ ก็จะเป็นอนันต์ตัว ............................................ 555+ |
อ้างอิง:
จึงยังเหลือจำนวนเฉพาะอีกบานเบอะที่วิธีข้างบนยังเช็คไม่ได้ ไม่อยากสกัดดาวรุ่งเลยครับ อยากให้เป็นจริง !!!! :great: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:28 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha