โจทย์พหุนาม
 

Attachment 16897
ลองดูว่าข้อนี้คำตอบมีในตัวเลือกที่ให้มาหรือไม่

สวัสดีค่ะ
ก็มีนิ่คะ
สวัสดีค่ะ

ข้อนี้มีได้หลายคำตอบรึเปล่าครับ

$P(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$

$P(2)=-7$

$P(1)=0,2$

จากข้างบนเราจะหาP(3);P(4) และ P(5) ต่ออย่างไรครับ

P(x)เป็นได้หลายแบบรึเปล่าครับ ตัวอย่างเช่น $\,P(x)=x^3-7x^2+7x-1$

คุณผู้หญิงScylla_Shadowมีวิธีคิดอย่างไรครับ โปรดชี้แนะ

ลองเช็คดูว่าพหุนามของคุณ artty ใช้ได้กับ $x=3$ ไหม??

พหุนามที่สอดคล้องกับเงื่อนไขมีได้แค่แบบเดียวครับ

แนะว่าทางไปต่อ คือลองจัดพหุนามอยู่ในรูปนี้ครับ $\left(p(x)-1\right)\left(p(\dfrac{1}{x})-1\right)=1$

ลองใช้การเทียบสัมประสิทธิ์ดูก็ได้ครับ การแทนค่ามันก็มีข้อจำกัดอยู่แค่นั้นแหละ

โทษทีครับผมยังไม่getเลยครับ ช่วยแนะต่ออีกหน่อยครับ:wacko:

ขอบคุณครับ

สวัสดีค่ะ
จากข้างบนเราหา P(3),P(4) และ P(5) ไม่ได้ค่ะ

ไม่ค่ะ มีได้แบบเดียวค่ะ กับ มีคนมาตอบแล้วค่ะ

ตามนั้นค่ะ

ดิฉันคิดว่า คำตอบถูกค่ะ แต่ดิฉันมีข้อสงสัยดังนี้
1. รู้ได้อย่างไรว่า P(1)=0 หรือในทางกลับกัน P(1)=2 หรอคะ
2. รู้ และพิสูจน์ได้อย่างไร ว่า $P(x)=1-x^3$ เท่านั้น

ขออนุญาติ treat P(x) as a function นะคะ
ไม่ค่อยถนัดเรื่อง FE เท่าไร ไม่รู้เหมือนกันมั่วรึเปล่า
ให้ $f(x)=1-P(x)$ จะได้ $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}$
$f(x)f(1/x)=1 $เมื่อ $f(1)=-1, 1$
ถ้า $f(1)=1$
สังเกตว่า มันคือกรณีย่อยของ $f(xy)=f(x)f(y)$ เมื่อแทน $y=1/x$ จำชื่อไม่ได้ละ
จะได้ $f(x)=x^c$ สำหรับบางค่า c แทนค่ากลับตรง $f(\frac{1}{2})$ ได้ $c=3$
$P(x)=1-x^3$

ถ้า $f(1)=-1$
ให้ g(x)=-f(x) จะได้ $g(1)=1$
และ $g(x)g(1/x)=1$ ด้วย เหมือนเดิม ได้ $f(x)=-x^c$ แต่ตรงแทนค่ากลับ มันจะได้ $c=-3$
$P(x)=1-x^{-3}$

แต่พอเอามา treat ตรง polynomial มันก็ได้ $P(x)=1-x^3$
มั้งคะ มั่วๆ ไม่ได้แตะมาหลายร้อยปีแล้วค่ะ

สวัสดีค่ะ

ขอบคุณทั้งคุณแฟร์และคุณScylla_Shadowครับ แต่ผมก็ยังไม่กระจ่างแจ้ง

อยากดูวิธีการเทียบสปส.ของคุณThgx0312555 ว่าเริ่มต้นอย่างไรน่ะครับ

คงแบบนี้มั้งคะ

$(f(x)-1)(f(\frac{1}{x})-1)=1=x^n\cdot (\frac{1}{x})^n$ สำหรับบางค่า n

$f(x)-1=x^n$
แทนค่า $f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$ ได้ n=3

เห็นได้ชัดว่า $p(x)$ ไม่ใช่พหุนามค่าคงตัว ดังนั้นให้ $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ โดยที่ $|a_n|>0$

เทียบ สปส. $x^n$ ได้

$a_na_0=a_n$

$a_0=1$

เทียบ สปส. $x^0$ ได้

$a_n^2+a_{n-1}^2+...+a_1^2+a_0^2=2a_0$

$a_n^2+a_{n-1}^2+...+a_1^2=1$

จากความเป็นจำนวนเต็มของ $a_i$ และ $|a_n|>0$

จึงได้ว่า $a_n=1,-1$

ดังนั้น $p(x)=+-x^n+1$

ทำต่ออีกนิดเดียวก็ได้ $p(x)$ ละครับ

ปล.นี่คือข้อสอบเข้าหมอของสักปี

จริงๆ เคยเห็นคุณ polsk133 ทำวิธีแบบนี้เป๊ะๆ ลงในสักที่หนึ่ง
วิธีผมก็คล้ายๆ คุณ polsk133 กับคุณ scylla shadow แหละ

จากตอนที่แล้ว
ลองให้ $q(x)=p(x)-1$ จะได้

$q(x)q(\dfrac{1}{x})=1$

note $q(x)$ ไม่เป็นพหุนามศูนย์
ให้ $q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_mx^m$

($a_m$ เป็นสัมประสิทธิ์หลังสุดของ $q(x)$ ที่ไม่เป็นศูนย์)

ลองแทนลงในสมการ และจัดรูปจะได้
$(a_nx^{n-m}+a_{n-m-1}x^{n-1}+\cdots +a_m)(a_mx^{n-m}+a_{m+1}x^{n-m-1}+\cdots +a_n)=x^{n-m}$

เทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2n-2m}$

ถ้า $n \neq m$ จะได้
$a_n a_m = 0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $n=m$ นั่นคือ
$q(x)=ax^n$
แทนกลับเข้าไปอีกทีจะได้
$a=\pm 1$
$q(x)= \pm x^n$
$p(x)=1 \pm x^n$

แทน $x=\dfrac{1}{2}$ จะได้

$p(x)=1 - x^3$