Functional
 

1.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(y))=f(x+y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$
2.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$
3.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y,\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$

1. ตรงๆ $f(x)=c$
2. $xf(x)=f(x^2)$ แทนค่าตรงตาม form Cauchy

#2

ข้อ 2 ยังใช้ผลจากโคชีมาไม่ได้นะครับ

ถึงแม้เราจะรู้แล้วว่า $f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2)$

ก็ยัง imply ไม่ได้ว่า $f(x-y)=f(x)-f(y)$ ทุกจำนวนจริง แต่ได้เฉพาะจำนวนจริงบวก

ต้องพิสูจน์อีกเงื่อนไขหนึ่งคือ ฟังก์ชันคี่

สำหรับ $x \not= 0$ แทน $y=-x$ ลงไปก็จะได้ครับ

เราถึงจะสรุปได้ว่า $f(x)=cx$ ทุกจำนวนจริง $x$ สำหรับค่าคงที่ $c \in \mathbb{R}$ ใดๆ

ไหนๆก็ไหนๆแล้ว ใบ้ข้อสามเลยดีกว่า แต่คิดว่าน่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ :sweat:

แทนค่าจนได้ว่า $f(0)=0$

จัดรูปจนได้ว่า $[f(x)]^2=x^2$

แล้วได้คำตอบเป็น $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ ทุกจำนนจริง $x$

แต่ดูให้ดีว่าลืมอะไรไปหรือเปล่าในการสรุปคำตอบข้างต้น ฝากเอาไปคิดดูเล่นๆ

Unsure Solution
3.find $f$ with$x,y\in\mathbb{R}$ such that $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
put $y=y-f(x)^2$ get $f(xf(x)+f(y-f(x)))=y$
so $f$ is surjective func. Thus there exist $t$ such that $f(t)=0$
Let $x=t$ we have $f(f(x))=x$
then replace $x$ with $f(x)$ in given function we get $$f(xf(x)+f(y))=f(f(x)f(f(x))+f(y))=f(f(x))^2+y=x^2+y$$
So $x^2+y=f(x)^2+y\rightarrow f(x)=\pm x$

ลำพังจาก $(f(x))^2=x^2$ สรุปเลยไม่ได้ต้องทำต่ออีกนิดครับ
สมมติว่า มี $u,v$ ที่ทำให้ $f(u)=u$ และ $f(v)=-v$ แล้วพิสูจน์ขัดแย้ง

#5 เจ๋งครับ :great:

#6 มี $f(x)^2=x^2$ มันสรุปไม่ได้หรอครับว่า $f(x)= \pm x$

ผมยังไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ :please:

ขอบคุณครับ #6,#7
ปล. ข้อนี้ทำไงอ่ะครับ ผมว่ามันยากมากอ่ะ = ="

ยังครับต้องพิสูจน์ครับ

1.พิสูจน์ว่า $f$ เป็น non-decreasing
2.พิสูจน์ว่า $f(1)=1$
3.พยายามพิสูจน์ว่า $f(x)=\frac{1}{x}$ ทุก $x>0$ ใช้ข้อมูลมาสรุป contradiction

ผมทำมาถึงตรงข้อ 3 ครับ ยังไม่ได้คิดต่อ

#10 ผมได้ว่ามันเป็น decreasing อ่ะครับ เเล้วก็ $f(1)$ นี่หาเท่าไรก็ยังตันอยู่เลยครับ 555

ที่มันยังสรุปไม่ได้ เพราะอาจจะมีฟังก์ชั่นแปลกๆครับ
ที่มีบางช่วงที่ $f(x)=x$ และมีบางช่วงที่ $f(x)=-x$ ครับ :D

จงหาฟังก์ชัน $g:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง
$$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$$

อันนี้สวยมากครับ 555
Find $f$ such that $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x)$ for $x,y\in\mathbb{R}$

แทนy ด้วย0
ต่อไปก้แทน yด้วย1
แทนxด้วยx+1 yด้วย1
พิจารณา แทน x,yด้วย 1 ที่เหลือน่าจะไปต่อได้