โจทย์อสมการเอามาฝากเด็กสอวน
 

$a,b,c\geq 0$ โดยที่ $ab+bc+ca=3$ จงแสดงว่า
$3+\sum_{cyc} (a-b)^2\geq \sum_{cyc} \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geq 3$
เอามาให้เด็กสอวนทำครับ หวังว่าคงจะชอบ :)
แก้แล้วครับ ลืมเงื่อนไขนี้เอง...

อสมการอันที่สองผิดครับ ให้ $a=b=c=0.5$ ก็ไม่จริงแล้ว ช่วยแก้ด้วยครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ไม่มีใครสนใจเลยหรอครับ T_T ผมนึกว่าจะมีคนสนใจกันมากกว่านี้ซะอีก
Hint ครับ ใช้แค่อสมการ Cauchy นี้แหละครับ

อีกนานกว่าจะค่าย 2 ครับ อีกอย่างจะสอบมิดเทอมแล่วว TT

พิสูจน์
$ \Sigma \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geqslant 3$


$ \Sigma \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2} $


$(\Sigma b+c)(\Sigma \frac{b^2c^2}{b+c})\geqslant ( \Sigma ab)^2 = 9 $


$ \Sigma \frac{b^2c^2}{b+c} \geqslant \frac{9}{2\Sigma a } $


$ (\Sigma a )^2 \geqslant 3( \Sigma ab ) $


$ (\Sigma a ) \geqslant 3 $

$ \frac{9}{2\Sigma a } \geqslant \frac{3}{2} $


$\therefore$ $ \Sigma \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geqslant 3$

เครื่องหมายกลับข้างอยู่นี่ครับ
ถ้า $ (\Sigma a ) \geqslant 3 $ แล้ว $ \frac{9}{2\Sigma a } \leqslant \frac{3}{2} $

คุณ Sooprecha ทำล้นไปนิดนึงน่ะครับ

$\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}=\sum_{cyc} \frac{a^2}{ab+ca}$
$\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
$=\frac{(a+b+c)^2}{6}$

$\sum_{cyc} \frac{b^2c^2}{b+c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}$
$=\frac{9}{2(a+b+c)}$

และจาก $a+b+c\geq 3$ ดังนั้น
$\sum_{cyc} \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geq\frac{(a+b+c)^2}{6}+\frac{9}{2(a+b+c)} $
$\geq \frac{(a+b+c)}{2}+\frac{9}{2(a+b+c)} $
$\geq 3$ โดย AM-GM

ส่วนข้างซ้ายไม่ค่อยแน่ใจน่ะครับ ผมแบ่งเป็นสองส่วน

$\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}\leq \frac{3}{2}+\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}+\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{6}$

กับ

$\sum_{cyc} \frac{b^2c^2}{b+c}\leq \frac{1}{2}\sum_{cyc}(bc)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{3}{2}+\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4}$

อันแรกกระจายเอาก็ออกครับ(แต่ถึกน่าาดู)
ส่วนอันที่สองนี่ใช้โคชีได้อ่ะ

สองอันรวมกันแล้วก็ยังน้อยกว่าข้างซ้ายอยู่นิดนึง

ขอบคุณครับ