Let $H$ and $K$ be Sylow p-subgroup and Sylow q-subgroup respectively. By Sylow's Theorem, $H$ and $K$ are the only one Sylow $p$ and $q$ subgroups of $G$. Thus $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Note that $H$ and $K$ are cyclic groups and $H\cap K = \{e\}$. Let $a,b$ be generators of $H$ and $K$ respectively. Then $aba^{-1}b^{-1}\in H\cap K =\{e\}$. Thus $ab=ba$. This implies $(ab)^n=a^nb^n$ and hence $(ab)^n=e\Leftrightarrow pq\mid n$. Therefore, $ab$ has order $pq$ and hence $G$ is cyclic.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii (ข้อความที่ 25133) ถ้าเรียน Sylow's Theorem มาแล้วก็น่าจะอ่านวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ได้ไม่ยากครับ ถ้า $G$ เป็น group ที่มีขนาด $pq$ โดยที่ $p<q$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid q-1$ แล้ว $G$ จะเป็น cyclic group Proof: Let $H$ and $K$ be Sylow p-subgroup and Sylow q-subgroup respectively. By Sylow's Theorem, $H$ and $K$ are the only one Sylow $p$ and $q$ subgroups of $G$. Thus $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Note that $H$ and $K$ are cyclic groups and $H\cap K = \{e\}$. Let $a,b$ be generators of $H$ and $K$ respectively. Then $aba^{-1}b^{-1}\in H\cap K =\{e\}$. Thus $ab=ba$. This implies $(ab)^n=a^nb^n$ and hence $(ab)^n=e\Leftrightarrow pq\mid n$. Therefore, $ab$ has order $pq$ and hence $G$ is cyclic. มีวิธีพิสูจน์ความจริงอันนี้เยอะแยะขึ้นอยู่กับระดับความรู้ที่เรามีอยู่ครับ บ้างก็ใช้ Sylow's Theorem บ้างก็ใช้ Fundamental Theorem of Abelian Groups ถ้ายากกว่านี้ก็ใช้ semidirect product วิธีพิสูจน์นี้ผมเรียบเรียงตามความเข้าใจของผมซึ่งอาจจะขาดรายละเอียดบางอย่างไป ถ้าไม่เข้าใจตรงจุดไหนก็ถามเพิ่มเติมได้ครับ :)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MINGA (ข้อความที่ 25146) ให้ $x \in G$ จะได้ว่า $o(x)=1,p,q,pq$ เนื่องจาก จำนวน Sylow p-subgroup และ Sylow q-subgroup มีแค่เพียงอันเดียว ดังนั้น สมาชิกใน G ที่มี order p จะมี p-1 ตัว และ ที่มี order q จะมี q-1 ตัว เมื่อรวมกัน e ก็ได้ว่า มีจำนวน p+q-1 ซึ่งน้อยกว่า pq ดังนั้น G มีสมาชิกที่มี order pq นั่นคือ G เป็น cyclic group