ข้อนี้คิดไงครับ
 

ข้อนี้คิดไงครับ

$1+3+5+...+(2n-1) = ?$

$1 + 3 + 5 + ... + (2n -1)$
$ = (2 + 4 + 6 + ... + 2n) -n$
$ = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) -n$
$ = 2(\frac{n(n+1)}{2}) - n$
$ = n(n+1) - n$
$ = n(n+1 - 1)$
$ = n^2$


$1\sum_{n=1}^{2014} \frac{1}{n} + 3\sum_{n=2}^{2014} \frac{1}{n} + 5\sum_{n=3}^{2014} \frac{1}{n} + ... + 4025\sum_{n=2013}^{2014} \frac{1}{n} + 4027\sum_{n=2014}^{2014} \frac{1}{n}$
$= (1\sum_{n=1}^{2013} \frac{1}{n} + \frac{1}{2014}) + (3\sum_{n=2}^{2013} \frac{1}{n} + \frac{3}{2014})+ (5\sum_{n=3}^{2013} \frac{1}{n} + \frac{5}{2014})+ ... + (4025\sum_{n=1}^{2013} \frac{1}{n} + \frac{4025}{2014}) + \frac{4027}{2014}$
$= \frac{1+3+5+...+4025+4027}{2014} + 1\sum_{n=1}^{2013} \frac{1}{n} + 3\sum_{n=2}^{2013} \frac{1}{n} + 5\sum_{n=3}^{2013} \frac{1}{n} + ... + 4023\sum_{n=2012}^{2013} \frac{1}{n} + 4025\sum_{n=2013}^{2013} \frac{1}{n}$
$= \frac{1+3+5+...+4025+4027}{2014} + \frac{1+3+5+...+4023+4025}{2013} + 1\sum_{n=1}^{2012} \frac{1}{n} + 3\sum_{n=2}^{2012} \frac{1}{n} + 5\sum_{n=3}^{2012} \frac{1}{n} + ... + 4021\sum_{n=2011}^{2012} \frac{1}{n} + 4023\sum_{n=2012}^{2012} \frac{1}{n}$
$= \frac{2014^2}{2014} + \frac{2013^2}{2013} + \frac{2012^2}{2012} + ... + \frac{2^2}{2} + \frac{1^2}{1}$
$= 2014 + 2013 + 2012 + ... + 2 + 1$
$= 2015(\frac{2014}{2}) $

ขอบคุณครับ