ช่วยพิสูจน์เกี่ยวกับค่าของ e กับ pi หน่อยครับ
 

พิสูจน์

โดย calculus เราพบว่าจุดสูงสุดของ $ \frac{\ln x}{x} $ อยู่ที่ $x=e$ ดังนั้น $$ \frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} $$ เราจึงได้ว่า $ e^\pi > \pi^e $ ครับ

พี่ warut ครับ ช่วยอธิบายให้อีกครั้งนะครับ ไม่ค่อยเข้าใจ ช่วยบอกที่มาด้วยครับ แล้วยังมีวิธีอื่นอีกมั้ยครับ ขอบคณครับ :D

$y=\frac{\ln x}{x}$
$y_{\max}\ \text{at}\, \frac{dy}{dx}=0$
Solve Equation $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = 0$
so that $ x=e $

แล้วถ้าจะพิสูจน์ ว่า (e^e)^pi > (pi^pi)^eพิสูจยังไงครับ

คือให้พิสูจน์ว่า $(e^e)^\pi > (\pi^\pi)^e $ เหรอครับ? ถ้าใช่ ก็ข้อความไม่เป็นจริงครับไม่ต้องพิสูจน์

สำหรับ e กำลัง พาย มากกว่า พายกำลัง e มีวิธีอื่นในการพิสูจน์อีกมั้ยครับ อยากได้สัก สองวิธีครับ ช่วยหน่อยครับ :yum:

Since
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...$$
we get,
$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+...$$
when $x>0$ we get $e^x-1>x$ ,
So put $x=\frac{\pi}{e}-1$
as a result $$e^\pi>\pi^e$$

วิธีคุณ Mastermander กระชับ ได้ใจความดีครับ

when x>0 we get e^X−1 >x ,
So put x=pi/e−1
as a result e^pi>pi^e
ช่วยขยายความหน่อยครับว่ามายังไง และยังมีวิธีอื่นในการพิสูจน์อีกมั้ย

ลองบอกจุดที่ติดหรือไปต่อไม่ได้มากกว่านี้สิครับ อย่าเหวี่ยงแห ;)

อีกวิธีหนึ่งคือ

ดูจากกราฟของ $e^x$ เทียบกับ $x^e$ ก็ได้ครับ ทั้งสองต่างเป็นฟังก์ชันเพิ่ม โดยฟังก์ชัน exponential เพิ่มขึ้นเร็วกว่ามาก

ที่ $x > 0$กราฟสองอันนี้ตัดกันที่ $x = e$ หลังจากนั้นก็ไม่ตัดกันแล้ว นั่นก็หมายความว่า $e^x > x^e$ เสมอเมื่อ $x > e$