โจทย์อสมการ
ช่วงนี้บ้าอสมการอยู่ครับ
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงซึ่ง a + b + c = 0 จงพิสูจน์ว่า a3 + b3 + c3 + ab + bc + ca ฃ a2 + b2 + c2 |
ของชอบเหมือนกันครับ. ข้างบนยังไม่ได้ลองคิด เดี๋ยวเร็วไปไม่หนุก ช่วยต่อให้อีกข้อหนึ่งสำหรับคนที่อาจจะคิดข้อข้างบนออกแล้ว หรือ อยากทำข้อข้างล่าง
สำหรับจำนวนจริงบวก a, b, c, m, n จงพิสูจน์ว่า a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) ณ 3/(m + n) อืม. ถ้าจำไม่ผิดก็แบบนี้ล่ะครับ. ทดสอบก่อน ถ้า m = n = 1 จะได้ว่า a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b) ณ 3/2 ใช่ ๆ อันนี้ของตาย โจทย์น่าจะถูกแล้ว |
อูย...เห็นแล้วต้องทิ้งการบ้านมาทำโจทย์ข้อนี้ก่อนเลย แต่ทำได้ครึ่งเดียวเองอ่ะ เผอิญใช้ Chebychev's inequality น่ะครับ อีกครึ่งนึงขอติดไว้ก่อนนะครับ
พิสูจน์กรณี m ณ n โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า a ฃ b ฃ c ดังนั้นจะได้ว่า 1 / (mb + nc) ฃ 1 / (mc + na) ฃ 1 / (ma + nb) โดยอสมการของ Chebychev เราจะได้ว่า a / (mb + nc) + b / (mc + na) + c / (ma + nb) ณ (1 / 3) (a + b + c) { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) } = (1/3) (1 / m + n) { (mb + nc) + (mc + na) + (ma + nb) } { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) } ณ 3 / ( m + n ) บรรทัดสุดท้ายใช้ A.M.-H.M. ครับ |
ข้อแรกโจทย์มีปัญหานะครับ. เช่น (a, b, c) = (4, -2, -2) จะได้ว่า L.H.S = 36 แต่ R.H.S = 24 จึงไม่จริง
สำหรับข้อที่สอง : Hint ใช้ อสมการโคชีก่อนครับ. |
อ่า...ข้อแรกผมไปมั่วอีท่าไหนล่ะเนี่ยถึงได้ออกมาแบบนั้น เดี๋ยวกลับไปเช็คดูใหม่ครับ
|
ผมเฉลยที่ตั้งคาไว้ล่ะกัน.
โดยอสมการโคชี : [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] [ a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) ] ณ (a + b + c)2 แต่ [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] = (m + n)(ab + bc + ca) \ L.H.S. ณ (a + b + c)2 / (m + n)(ab + bc + ca) ... (*) แต่ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ณ (ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca) เมื่อแทนลงใน (*) ก็จะได้ตามที่ต้องการ Note. ปัญหาข้อนี้เอาไปหลอกเด็กเล่น ๆ ได้ เช่น a/(19b + 29c) + b/(19c + 29a) + c/(19a + 29b) ณ 1/16 |
ยอดเยี่ยมจริงๆครับ ขออนุญาตเก็บไว้ในไฟล์อสมการผมหน่อยนะครับ เป็นอสมการที่สวยมากอันนึง ผมเห็นข้อสอบแข่งขันแนวนี้มาหลายข้อแล้วเพิ่งมาเจอแบบทั่วไปก็คราวนี้แหละครับ
|
ขอแก้ตัวจากข้อแรกที่คำนวณผิดครับ เอาข้อใหม่มาฝากแล้วครับ
ให้ a,b,c ฮ [1,2] และ A = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ a,b,c G = ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ a,b,c H = ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ a,b,c จงพิสูจน์ว่า H ฃ G ฃ A ฃ H2 ฃ G2 ฃ A2 |
เก็บตามใจชอบเลยครับ. ตอนนี้ไปติดเชื้อโรคที่ดีมาจากใครบางคน คือ พอแก้ปัญหานั้นเสร็จ จะหัดมองให้มันทั่วไปกว่าเดิมไปอย่างน้อย 1 ขั้นเสมอ.
|
เอามาฝากอีกข้อนึงครับ
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ xyz=1 จงพิสูจน์ว่า 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ฃ 3/2 |
ขอลองเล่นข้อล่างก่อนแล้วกันครับ.
จะพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงบวก x, y, z, m, n โดยที่ xzy = 1 แล้ว 1/(mx + ny) + 1(my + nz) + 1/(mz + nx) ฃ 3/(m + n) สมมติให้ x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c จะได้ว่า L.H.S. = 1/c(mb + nc) + 1/a(mc + nb) + 1/b(ma + nc) โดยอสมการโคชี : [ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) ] (L.H.S.) ณ (1 + 1 + 1)2 = 9 แต่ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) = (m + n)(ab + bc + ca) ดังนั้น L.H.S ณ 9/(m + n)(ab + bc + ca) แต่โดยอสมการ A.M. - G.M. : ab + bc + ca ณ 3(abc)2/3 = 3(1) = 3 ดังนั้น L.H.S : ฃ 9/3(m + n) = 3/(m + n) |
แต่งเพิ่มให้อีกข้อหนึ่ง : :rolleyes:
จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนจริงบวก a, b, c ที่ abc = 1 a3b3/(a7 + b7 + a3b3) + b3c3/(b7 + c7 + b3c3) + c3a3/(c7 + a7 + c3a3) ฃ 1 |
สุดยอดจริงๆครับ เกทับของผมไปอีกชั้นนึงเลย ข้อใหม่เห็นแล้วอยากคิดมากๆเลย แต่รอไว้สอบกลางภาคเสร็จก่อนนะครับ ช่วงนี้ติดสอบอยู่ครับ
|
ผมลองแทนค่าเข้าไป(เนื่องจากทำไม่ได้สักกะที เพราะความรู้มีน้อย :D )
โดยให้ x=1/6 y=1/6 z=36 จะได้ว่า 1/(1/6+1/6)+1/(1/6+36)+1/(1/6+36) = 3+6/217+6/217 ณ 3/2 |
อ่า...ขอบคุณน้อง Gools มากๆเลยครับที่หาตัวอย่างค้านมาแสดงให้ดู ตอนนี้พี่ก็เลยได้ข้อสรุปแล้วว่าอสมการ
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ฃ 3/2 นั้นไม่จริง และ 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ณ 3/2 ก็ไม่จริงเช่นกัน เพราะ ถ้าให้ x=3, y=1, z=1/3 เราจะได้แค่ 13/10 เท่านั้น สรุปว่าอสมการทั้งสองอันนี้ไม่จริงบนเงื่อนไข xyz = 1 ครับ ตอนนี้ที่สงสัยที่สุดคือทำไมไม่จริงครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:55 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha