จงพิสูจน์ว่า ...
 

ขอ hint ด้วยนะครับ :please:

1. กำหนดให้ $ a,b,c > 0 $ และ $abc=1$
จงพิสูจน์ว่า $ \frac{a^{3}c}{(b+c)(c+a)}+ \frac{b^{3}a}{(c+a)(a+b)} + \frac{c^{3}b}{(a+b)(b+c)} \geq \frac{3}{4}$

2. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $a,b,c,d<1$ และ $a+b+c+d = 2$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{2}{9}(\frac{1}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}+\frac{1}{\sqrt{(1-a)(1-c)}}+\frac{1}{\sqrt{(1-a)(1-d)}}+\frac{1}{\sqrt{(1-b)(1-c)}}+\frac{1}{\sqrt{(1-b)(1-d)}}+\frac{1}{\sqrt{(1-c)(1-d)}}) $$
$$ \geq \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}$$

3. กำหนดให้ $x,y,z \geq 0$ และ $xyz \geq 1$จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{5}+x^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{5}+y^{2}+x^{2}} \leq 1$$

ข้อ3นี่ถ้ามี2ตัวเป็น0และอีกตัวนึงน้อยกว่า1หล่ะครับ

ขอโทษทีครับ
ลืมให้เงื่อนไขเพิ่มเติมในข้อ 3. คือ $abc \geq 1$
แก้ให้แล้วครับ

ข้อ3 ก่อนนะครับ Solution สั้นมากเลย แต่ถ้าดูไม่ออกก็คงจะยากมาก (ตอนนั้นผมก็ดูไม่ออกเหมือนกัน)
Lemma $\frac{x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}} \leq \frac{x}{x+y+z} $
จาก Lemma นำมา Sigma cyc จะได้
$$\frac{x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}} +\frac{y^{2}}{y^{5}+z^{2}+x^{2}} +\frac{z^{2}}{z^{5}+x^{2}+y^{2}} \leq \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1$$ :great:

AM-GM
$\frac {1}{\sqrt {(1 - x)(1 - y)}} \ge \frac {2}{2 - x - y}$
$\frac {2}{9}(\frac {1}{\sqrt {(1 - a)(1 - b)}} + \frac {1}{\sqrt {(1 - a)(1 - c)}} + \frac {1}{\sqrt {(1 - a)(1 - d)}} + \frac {1}{\sqrt {(1 - b)(1 - c)}} + \frac {1}{\sqrt {(1 - b)(1 - d)}} + \frac {1}{\sqrt {(1 - c)(1 - d)}}) \ge$
$\frac {2}{9}( \frac {2}{2 - a - b} + \frac {2}{2 - a - c} + \frac {2}{2 - a - d} + \frac {2}{2 - b - c} + \frac {2}{2 - b - d} + \frac {2}{2 - c - d})$
$= \frac {2}{9}( \frac {2}{a + b} + \frac {2}{a + c} + \frac {2}{a + d} + \frac {2}{b + c} + \frac {2}{b + d} + \frac {2}{c + d}).$
จาก โคชี จะได้ว่า $\frac {2}{a + b} + \frac {2}{a + c} + \frac {2}{a + d} \ge \frac {18}{3a + b + c + d} = \frac {18}{2} (\frac {1}{a + 1})$
และ $\frac {2}{a + b} + \frac {2}{b + c} + \frac {2}{b + d} \ge \frac {18}{3b + a + c + d} = \frac {18}{2} (\frac {1}{b + 1})$
$\frac {2}{c + b} + \frac {2}{a + c} + \frac {2}{c + d} \ge \frac {18}{3c + b + a + d} = \frac {18}{2} (\frac {1}{c + 1})$
และ $\frac {2}{a + d} + \frac {2}{d + c} + \frac {2}{b + d} \ge \frac {18}{3b + b + c + a} = \frac {18}{2} (\frac {1}{d + 1})$
นำอสมการที่ได้มาบวกกันจะได้ว่าอสมการที่โจทย์ต้องการเป็นจริง