พิสูจน์ งงๆ
 

ช่วยดูหน่อยครับ ผมคิดไม่ออก
จงแสดงว่า $\sum_{i = r}^{n}\binom{i}{r}=\binom{n+1}{r+1}$

Hint: pascal's identity

pascal's identity ใช่นี่รึเปล่าครับ
$\binom{n}{r} =\binom{n-1}{r-1} +\binom{n-1}{r} $

$\sum_{i = r}^{n} \binom{i}{r} =\binom{r}{r} +\sum_{i = r+1}^{n} \binom{i}{r} $
$=1+$$\sum_{i = r+1}^{n}[\binom{i+1}{r+1} -\binom{i}{r+1}]$
ส่วนสีแดงผมรู้ว่ามาจากสามเหลี่ยมปาสคาล แต่ไม่รู้มันมายังไงอ่ะครับ

ลองดู http://www.mathcenter.net/forum/show...6939#post66939


ดูครับ ลองสมมุติว่ากำลังหาวิธีการเดินทางจาก จุด A ไปยังจุด B แต่ก่อนจะถึงจุด B จะมีเส้นตรงคั่นก้อนถึงจุด B 1 ก้าว ขวางตามแนวตั้ง ถ้าจุด B อยู่ขวาบนสุด จะเกิดจุดตัดจากเส้นที่มาขวาง เรียกว่าจุด C , D , E , ... , ลองหาจำนวนวิธีที่จะต้องเดินผ่านจุดดังกล่าวแล้วไปถึงจุด B แต่มีข้อแม้ว่าเมื่อถึงจุดดังกล่าวจะต้องเดินไปทางขวาเท่านั้น เพื่อป้องกันกรณีที่ทับซ้อนกัน เมื่อไปทางขวาก็จะมีวิธีเดินเพียง 1 วิธี คือเดินขึ้นอย่างเดียวหรือไปถึงทันทีที่เดินไปทางขวา

ดังนั้นสรุปได้ว่า จำนวนวิธีที่จะเดินทางไปถึงจุด B เท่ากับจำนวนวิธีที่จะเดินไปถึงจุด C , D , E , ... , รวมกัน ดังกล่าวนี้คือวิธีพิสูจน์ เจอพิสูจน์แบบนี้ใครพบก็ต้องทึ่ง รู้เรื่องไม่รู้เรื่อง ก็บอกกันได้จะพยายามอธิบายใหม่อีกครั้ง

มันก็จะมีอีกมุมมองหนึ่ง เดี๋ยวว่าง ๆ จะมาอธิบายให้