เพชรยอดมุงกุฏ 2552
 

1.จงหาค่าของ
$1\binom{n}{0}+\frac{1}{2}\binom{n}{1}+.....................\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}$
2.กำหนดให้ $N=2^{n-1}(2^n-1)$ โดย $2^n-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
กำหนด $d_1,d_2,d_3,.............d_n$ เป็นจำนวนเต็มที่หาร N ลงตัว
โดย $1\prec d_1\prec d_2.............\prec d_n=N$
จงหาค่าของ $1+\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} ...................+\frac{1}{d_n}$
3.จงหาหลักหน่วยของ $1^5+2^5+3^5+4^5+.....................99^5$
4.จงหาของของ $1^2-2^2+3^2-4^2......................+(2n-1)^2-(2n)^2$
5.จงหาค่าของ $a^2+b^2$
โดย a เป็นเศษจากการหาร $2^{24}$ ด้วย 17
โดย b เป็นเศษจากการหาร $1\bullet 100!+2\bullet 99!+........................100 \bullet 1!$ ด้วย 5
ป.ล ปีนี้ mod เยอะอีกเช่นเคย :great:

โจทย์รอบชิงตัวครับ ใครจดมาก็เอามาลงเพิ่มเลยนะครับ ช่วยกันเฉลยวิธีทำกันด้วยนะครับ
$6.(\binom{100}{0})^2+(\binom{100}{1})^2+(\binom{100}{3})^2+...+(\binom{100}{100})2=???$
$8.a,b เป็นจน.เต็มบวก มีหรม.เท่ากับ 1 จงหา หรม.ของ a+b และ a^2-ab+b^2$
$9.\sqrt{2-x} +4\underline{\sqrt{2-x}+3} =2 หา x$
$10.จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 7777....7(1001ตัว) ด้วย 1001$

ข้อ 5) ตอบ 17ป่าวครับ

ข้อ 9 มีคำตอบด้วยหรอ ??

8.1กับ3 ป่ะครับ
9.โจทย์ผิดป่ะครับ

ข้อ 3 ครับ

$จงหาหลักหน่วยของ 1^5+2^5+3^5+...+99^5$

$1^5 = ...1 , 2^5 = ...2 , 3^5 = ...3 -->> 99^5 = ...9$

หลักหน่วย = 1+2+3+...+99 = 4950..

หลักหน่วย คือ 0

$\therefore หลักหน่วยของ 1^5+2^5+3^5+...+99^5 = 0 $

5.จงหาค่าของ $a^2+b^2$
โดย a เป็นเศษจากการหาร $2^{24}$ ด้วย 17
โดย b เป็นเศษจากการหาร $1\bullet 100!+2\bullet 99!+........................100 \bullet 1!$ ด้วย 5


จาก a เป็นเศษจากการหารด้วย 17

$ 2^8 = 1 (mod 7) $

$ 2^{24} = 1 (mod7) $

$\therefore a = 1 $

ส่วน b ตอนนี้ลืมครับ 55555+ ไม่รู้ว่าในห้องสอบคิดยังไง

ได้ b = 4 ครับ

โจทย์ถาม $a^2 + b^2 = 1^2 +4^2 = 1+16 = 17 $ :happy:

b นี่ คิดเฉพาะ $99\bullet 2!+98\bullet 3!+97\bullet 4!$
ซึ่งแต่ละตัวลงท้ายด้วย8 บวกกันจึงลงท้ายด้วย4
จึงเหลือเศษ 4 ครับ:great:
ว่าแต่คุณRT,,Ant~*อยู่ร.ร.อะไรครับ
ป.ล. ตอบทางข้อความส่วนตัวก็ได้ครับ

ข้อ 8 ตอบถูกแล้วครับ
ข้อ 9 ผมพิมผิดเอง

รู้สึกจะให้หาเลขโดดในหลักสิบไม่ใช่เหรอครับ
:confused:

เพิ่มเติมครับ
จงหาผลบวกเลขโดดแต่ละหลักของ $10^{999}-999$
ตั้งแต่ 1-567 มีจำนวนที่มี 3 หรือ 5 เป็นตัวประกอบทั้งหมดกี่จำนวน


**ถ้านึกได้จะมาเพิ่มครับ

มาช่วยเติมให้ครับ

คร่าวๆนะครับ แบบรวบรัดตัดความ:haha: โจทย์มันยาวอ่ะ:p
40.สมการ x^3-ax^2+52x-b=0 มีคำตอบหนึ่งเป็น 5 และคำตอบที่เหลือมีจำนวนหนึ่งเป็น 3 เท่าของจำนวนหนึ่ง จงหา a+b

1. จงหาค่าของ $\frac{1^2}{(1)(3)}+\frac{2^2}{3(5)}+\frac{3^2}{5(7)}+...+\frac{n^1}{(2n-1)(2n+1)}$

4. จงหาค่าของ $\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}$ มั้ง จำเครื่องหมายไม่ได้อ่ะ:p

39. ถ้าสมการนี้ผิดก็ขอโทษนะครับ แต่คำตอบยังเหมือนเดิม
ให้ a เป็นคำตอบของสมการ $\sqrt{4x^2-17x+15}+\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x^2-9}$ จงหา $\frac{a-1}{a+1}$

xx. มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่ขึ้นต้นหรือลงท้ายด้วย 3

xx. พจน์ที่ 1 3+6
พจน์ที่ 2 3+6+9
พจน์ที่ 3 3+6+9+12
...

จงหาพจน์ที่ 150

xx. จำได้ว่าคล้ายกับโจทย์สมาคมข้อนึง เดี๋ยวจะหามาแปะให้ครับ

xx. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^3+1=2\sqrt{2x-1}$

xx. กำหนดให้ $N=P_1P_2P_3$ เมื่อ $P_1,P_2,P_3$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
ถ้า $\sum_{d|N} d= 3N$ จงหา $\sum_{d|N} \frac{1}{d} $

xx. จงหาค่า x ที่น้อยที่สุด (ในช้อยเป็นจำนวนเต็มอ่ะครับ) ที่ทำให้ระบบสมการมีคำตอบ มั้งจำไม่ได้ว่าบอกว่าอะไร

x+y-z=8
$y^2+z^2-x^2=28$
yz=6

xx. จงเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก $3^{60},5^{45},6^{45},7^{30}$

แค่นี้ก่อนครับ..

$3^{60},5^{45},6^{45},7^{30}$

$= (3^4)^{15},(5^3)^{15},(6^3)^{15},(7^2)^{15}$

$= (81)^{15},(125)^{15},(216)^{15},(49)^{15}$

$7^{30} < 3^{60} < 5^{45} < 6^{45} $ ANS.

$10^{999}-999 = 10^{999}-1000 +1 = 10^{999}-10^3+1$

\(\overbrace{999999..\cdots..999999}^{996ตัว}\)$001$

$996\times 9+1 =8965$

มี 3 เป็นตัวประกอบ = 189 จำนวน
มี 5 เป็นตัวประกอบ = 113 จำนวน
มี 15 เป็นตัวประกอบ = 37 จำนวน


ตั้งแต่ 1-567 มีจำนวนที่มี 3 หรือ 5 เป็นตัวประกอบทั้งหมด 189+113-37 = 265 จำนวน

ข้อ 8 ทำยังไงครับ

ห.ร.ม. น่าจะมีตัวเีดียว ทำไมจึงเป็น 1 กับ 3 รบกวนแสดงวิธีทำให้หน่อยได้ไหมครับ