โจทย์อนุพันธ์
 

ถ้า f เป็นฟังกฺชันที่อนุพันธ์ได้ เรานิยามฟังชัน f* โดยที่
f* (x)=lim$\frac{f(x+k)-f(x-k)}{k}$ โดยที่ มี lim k $\rightarrow$ 0
จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง f* และ f'

ได้แบบนี้หรือเปล่าครับ
$$f^*(x)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x+k)-f(x)+f(x)-f(x-k)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}+\lim_{k\to 0}\frac{f(x)-f(x-k)}{k}$$ $$=f'(x)+f'(x-k)$$

$\displaystyle f^*(x)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x+k)-f(x-k)}{k}$

$\displaystyle =\lim_{k\to 0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}+\lim_{k\to 0}\frac{f(x)-f(x-k)}{k}$

$\displaystyle =f'(x)+\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h};h=-k$

$=2f'(x)$

คำตอบจริงๆ ก็คือ 2f'(x) สินะครับ เพราะจากค.ห.แรก เมื่อ k เข้าใกล้ 0 ก็จะได้ค่าเหมือนกัน

น่าจะใช่นะครับตอนแรกก็คิดเหมือนกันว่า เมื่อแทนค่าตามที่ท่าน nooonuii ทำก็จะได้ $2f'(x)$
แต่ไม่แน่ใจอ่ะครับ