ระบบสมการ
ให้ x,y และ z เป็นจำนวนจริงใดๆและมีเงื่อนไขดังนี้
x+y+z=-1 , xy+yz+xz = -1 ค่าของ x/x+1 + y/y+1 + z/z+1 |
อ้างอิง:
|
ขอวิธีทำละเอียดหน่อยได้มั้ยค่ะ ไม่ค่อยเข้าใจค่ะ
|
อ้างอิง:
$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} + \dfrac{z}{z+1} = \dfrac{x(y+1)(z+1)+y(x+1)(z+1)+z(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)} $ $ = \dfrac{(xyz+xy+xz+x) + (xyz+xy+yz+y) +(xyz+zx+yz+z)}{xyz+xy+xz+x+yz+y+z+1}$ $ = \dfrac{3xyz +2(-1) +(-1)}{xyz -1-1+1}$ $= \dfrac{3(xyz-1)}{(xyz-1)}$ $ = 3$ |
อ้อ ... มานึกได้ ยังไม่ได้ตอบคำถาม จขกท
$ \because \ \ \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$ $ \because \ \ \dfrac{y}{y+1} = \dfrac{(y+1)-1}{y+1} = 1 - \dfrac{1}{y+1}$ $ \because \ \ \dfrac{z}{z+1} = \dfrac{(z+1)-1}{z+1} = 1 - \dfrac{1}{z+1}$ $ \therefore \ \ \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} +\dfrac{z}{z+1} = 3 - (\dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} ) $ ค่าในวงเล็บตรงท้าย ดูเฉพาะเศษ บวกกันได้ 0 คือ 1+1+1 - 1 - 1 -1 จึงได้ $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} +\dfrac{z}{z+1} = 3 - (\dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} ) = 3 - 0$ |
อีกแนวนึงที่ผมคิดว่าดูถึกน้อยลงมานิดหน่อยครับ :wub:
เปลี่ยนตัวแปรให้ $a=x+1,b=y+1,z=c+1$ จะได้ว่า $$a+b+c=(x+y+z)+3=2$$ สังเกตว่า $ab=(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$ ทำให้เราทราบว่า $$ab+bc+ca=(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+3=0$$ และค่าที่โจทย์ต้องการคือ $$\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c}=3-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3-\frac{ab+bc+ca}{abc}=3$$ ปล. เป็นโรคจิตไม่ชอบให้ส่วนดูยุ่งๆเพราะมันจัดการยาก :haha: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:59 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha