ลองมาทำกันดูนะครับ
 

ผมเองบางข้อก็ทำได้บ้างข้อก็ไม่ได้อยากแลกเปลี่ยนวิธีคิดอะครับ

ข้อ 1
$$a_n=\frac {1}{ \sqrt{n}(n+1)+n\sqrt{n+1} }$$ สำหรับ n =1,2,3......
และ $a_1+a_2+a_3+...+a_{99}=m$ แล้ว $1024^m$ = ?
ข้อ 2
$16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1$ หารด้วย $2^{100}+1$ เหลือเศษเท่าไร?

ข้อ 3
รูปหกเหลี่ยมมุมเท่ามี 4 ด้านเรียงติดต่อกันยาว 2,4,6 และ 8 หน่วย จะมีพื้นที่มากที่สุดเท่าใด?

ข้อ 4
ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี AB=BC เส้นแบ่งครึ่งมุม AD, BE และ CF พบกันที่จุด O ทำให้พื้นที่สามเหลี่ยม AOE เป็น $\frac{3}{8}$ ของพื้นทีรูปสามเหลี่ยม BOD แล้ว AB ยาวเป็นกี่เท่าของ AC
ข้อ 5

จากรูปวงกลมทุกวงรัศมี 5 หน่วยเท่ากัน พื้นที่แรเงาเป็นเท่าใด

ข้อ 6
A=[(2010)(2009)]-[(2009)(2008)]+[(2008)(2007)]-[(2007)(2006)]+[(2006)(2005)]-[(2005)(2004)]
จงหาค่า A

ข้อ 7
ถ้า a+b=2010 แล้วค่าสูงสุด ab มีค่าเท่าใด

ข้อ8
จำนวนเต็มตั้งแต่ 100 ถึง 1000 ที่มีจำนวนตัวประกอบเพียง 3 ตัว เท่านั้น มีทั้งหมดกี่จำนวน

ข้อ9
ถ้าผมนัดเจอกับเพื่อน เวลาที่เข็มยาว มากกว่าเข็มสั้น 6 ช่อง แล้วตอนนี้เป็นเวลา 20.05 นาฬิกา ผมจะเจอเพื่อนกี่โมง

ข้อ 10
$11+2\sqrt{30} =(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$
$12+2\sqrt{35} =(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2$
$[(\sqrt {11+2\sqrt{30}}) -(\sqrt {12+2\sqrt{35}})]^2$=?

ข้อ 11
$ถ้า a=20+21+22+...+40 และ b=4+80+84+88+...+156+160$
$แล้ว \sqrt{a^2+ab}=?$

ข้อ 12
$ให้ csc A+sec A=\frac{391}{120} จงหา sin A+ cosA$

ข้อ 13


สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่ 2222 ตารางหน่วย M, N, O และ P เป็นจุดแบ่งครึ่งด้านทั้งสี่ ถ้าตัวเลขในแต่ละส่วนแสดงพื้นที่ของรูปนั้นจงหาพื้นที่แรเงา

ข้อ 14
$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{N} ถ้า 5.187< H_{100}<5.188 จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน H_1+H_2+H_3+...+H_{100}$

ข้อ 15
$x^2-x+1 = 0 แล้ว x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^{3}+x^{-3}+1 มีค่าเท่ากับเท่าใด$

ข้อ 16
$x^{100}-2x^{99}+4 หารด้วย x^2-3x+2 เศษเท่ากับเท่าใด$

ข้อ 17
$ ให้ x= \sqrt[3]{3+\sqrt{9-3\sqrt{3}}} + \sqrt[3]{3-\sqrt{9-3\sqrt{3}}} จงหาค่าของ x^3-3\sqrt{3}x-3$

ข้อ 18
$จงหาจำนวนมากที่สุดที่หาร 2^{15}+3^{15} และ 2^{25}+3^{35} ลงตัว$

ข้อ 19
จงหาเศษเหลือที่มากที่สุดที่เป็นไปได้จากการหารเลขสามหลักด้วยผลบวกของเลขโดดของเลขสามตัวนั้น

ข้อ 20


ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวด้านละ 8 หน่วย ส่วนโค้งทุกเส้นมีรัศมีเท่ากับความยาวด้าน จงหาพื้นที่แรเงา

ข้อ 21
ทอดลูกเต๋าลูกหนึ่ง ถ้าแต้มที่ขึ้นหารด้วยสองลงตัว จะหยิบฉลากหนึ่งใบจากกล่องที่มีฉลาก สอง ใบที่มีตัวเลข หนึ่ง และ สี่ กำกับอยู่ แต่ถ้าแต้มสองหารไม่ลงจะหยิบฉลากหนึ่งใบจากกล่องอีกใบที่มีฉลากสองใบเช่นกันแต่มีตัวเลข สาม และ สอง กำกับอยู่ ความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มที่ขึ้นกับตัวเลขในฉลากจะหารด้วย สาม ลงตัวมีค่าเท่าใด

ข้อที่ 22
$ให้ t+\sqrt{t}=1 จงหาค่า \frac{1}{t}+\sqrt{t}$

ข้อที่ 23
รูปแปดเหลี่ยมมุมเท่า ABCDEFGH มีด้าน AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH,HA ยาว 1,2,11,4,5,6,x,y ตามลำดับ ถ้าพื้นที่รูปสามเหลี่บม FGH เขียนได้ในรูป $a+b\sqrt{2}$ เมื่อ a,b เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วจงหาค่า ab

ข้อที่ 24
ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าให้ P เป็นจุดบนด้าน AC โดยที่มุม PBC=23 ต่อ BP ออกไปจนถึงจุด Q โดยที่มุม PCQ=67 จงหาขนาดมุม AQP

ข้อที่ 25


ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 5 หน่วย จุด E และ F แบ่งด้าน BC ออกเป็นสามส่วนเท่ากัน จุด G อยู่บนด้าน CD จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม AEG ในขณะที่เส้นรอบรูปสั้นที่สุด

ข้ อ ส า ม ใ ห้ ทำ เ ป็ น ส า ม เ ห ลี่ ย ม ด้ า น เ ท่ า สี่ รู ป

ถ้าเรียงอย่างนั้น จะไม่สามารถสร้างรูปหกเหลี่ยมมุมเท่า ได้

Attachment 6029

o เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม ABC

DC = CE (เส้นสัมผัสมุม)

สามเหลี่ยม AEO = CEO = COD = 3m

$(\frac{BC}{AC})^2 = \frac{8m+3m}{3m+3m}$

$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{66}}{6}$



ใช้ด้านกำลังสองไม่ได้ เพราะไม่ใช่สามเหลี่ยมคล้าย



$ \dfrac{\triangle BOC}{\triangle AOC} = \dfrac{\frac{1}{2} \times BC \times r}{\frac{1}{2} \times AC \times r} = \dfrac{8m+3m}{3m+3m}$

$\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{11}{6}$

ข้อสาม ทำได้นะครับ ส่วนข้อสี่ผิดนะครับลองทำใหม่

$16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1=16\cdot 2^{400}+8 \cdot 2^{300}+4\cdot 2^{200}+2\cdot 2^{100}+1$

$=16\cdot 2^{400}-16+8 \cdot 2^{300}+8+4\cdot 2^{200}-4+2 \cdot 2^{100}+2+1+16-8+4-2$

$=16(2^{400}-1)+8(2^{300}+1)+4(2^{200}-1)+2(2^{100}+1)+11$

ผมก็ว่าไม่ได้นะครับ พิมพ์เลขผิดหรือเปล่า

ผมว่าสงสัยเข้าใจผิดกันละครับ หมายถึงอาจเป็นด้านเรียงแบบ 8,6,4,2 ก็ได้ แค่ให้เลขสี่ตัวนี้เรียงติดกัน

ถ้าเป็นอย่างนั้นผมก็ได้ $\dfrac{160\sqrt{3}}{4}$

$a_n=\dfrac {1}{ \sqrt{n}(n+1)+n\sqrt{n+1} }$

$\ \ \ =\dfrac{1}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$

$\ \ \ =\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}}$

$\ \ \ =\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

$a_1+a_2+a_3+...+a_{99}= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}$

$m=1-\dfrac{1}{10}$

$1024^m=2^9=512$

ผมได้ $30\sqrt{3}$ อะครับ ผมก็ไม่แน่ใจว่าผมถูกป่าว ผมทำยังงี้นะ

ผมต่อให้เป็นรูปสามเหลี่ยม
พ.ท. หกเหลี่ยม = พ.ท.สามเหลี่ยมใหญ่-พ.ท.สามเลี่ยมเล็ก 3 รูป
= $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(b+c+d)^2-b^2-d^2-(c+d-a)^2]$
= $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(2+6+4)^2-2^2-4^2-(6+4-8)^2]$
= $\dfrac{\sqrt{3}}{4}[144-4-16-4] = 30\sqrt{3}$
ป.ล. ให้ด้าน a=8 b=2 c=6 d=4
ที่ให้ด้านแบบนี้เพราะแบบอื่นผมสร้างรูปหกเหลี่ยมไม่ได้

ผมลืมใส่ ฐานรูปหกเหลี่ยม คือ a นะครับ โทดที

Attachment 6031

$\frac{1}{8}$ ของพื้นที่สีขาว $= \frac{1}{4} \pi 5^2 - \frac{1}{2} 5^2 = \frac{25}{4}( \pi - 2)$

พื้นที่สีขาว = $8 \times \frac{25}{4}( \pi - 2) = 50( \pi - 2) $

พื้นที่แรเงาในสี่เหลี่ยม = $10^2 - 50( \pi - 2) = 200 -50 \pi$

พื้นที่แรเงาทั้งหมด = $2 \pi 5^2 + 200 -50 \pi = 200 \ $ ตารางหน่วย

#12 ถูกแล้วครับ

ยังไม่ถูกครับ

ถ้าตัวเลขที่ให้มาต้องติดกัน 2, 8, 6, 4

จะได้พื้นที่มากที่สุด $45 \sqrt{3} $

แต่ถ้าไม่ต้องเรียงติดกัน จะได้ $67\sqrt{3} $

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12453

ได้พื้นที่แบบนั้นสร้างรูป 5 เหลี่ยมได้เหรอครับ แสดงวิธีทำหน่อยนะครับ