Number (การหารลงตัว)
 

1. ให้ $3 \leq d \leq 2^n $ จงพิสูจน์ว่า $d\nmid a^{2^n}+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก a

2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \equiv 1 \pmod{4}$ จงแสดงว่ามี (x,y) ที่ $p=x^2+y^2$

2.p สมารถเขียนในรูป p=4m+1 ; m เป็นจำนวนเต็มบวกบางจำนวน

เนื่องจาก p เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น x และ y ต้องไม่เป็นคู่หรือคี่พร้อมกัน

จึงกำหนดให้ x เป็นคู่ y(2k+1) เป็นคี่ และกำหนด k เป็นสมาชิกของจำนวนเต็ม

$p=x^2+y^2$

$=x^2+(2k+1)^2$

$=x^2+4k^2+4k+1$

$=4(k^2+k+\frac{x^2}{4} )+1$

$=4m+1$

(($m=k^2+k+\frac{x^2}{4} $))-->m เป็นจำนวนเต็มบวกที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปนี้

ผิดพลาดอย่างไรชี้แนะด้วยครับ

พิสูจน์จาก ผลไปเหตุ ได้ด้วยหรอครับ ?

ก้ คงมีแต่แย้งสลับที่อ่ะ ครับ

ข้อหนึ่งครับ
สมมติ $d \ | \ a^{2^n}+1$ เห็นได้ชัดว่า $(d,a)=1$
จะได้ $d \ | \ a^{2^{n+1}}-1$

เห็นได้ไม่ยากว่า $ord_d (a) =2^{n+1}$

แต่จาก $(d,a)=1$, $d \ | \ a^{\phi(d)}-1$

ซึ่ง $\phi(d)<d<2^{n+1}=ord_d (a)$
contradiction

ดังนั้น $d \nmid a^{2^n}+1$

ข้อ 2 ลองอ่าน L I N K นี้ดูนะครับ

ข้อ 2 ลิงค์ นี้ก็น่าจะพอได้นะครับ

ขอบคุณทุกท่านมากๆครับ