พิสูจน์ว่าเป็นค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ในเรื่องเรขาคณิต
 

$ ให้\triangle ABC$ เป็น $ \triangle$ ใดๆ

$1. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $PA+PB+PC $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$2. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PA^2+PB^2+PC^2 $ ทีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$3. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PD+PE+PF $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ โดย $D,E,F$ เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุด $ P$ มายังด้านของ $\triangle $

$4.$ พิจารณา $\triangle$ ที่มีวงกลมรัศมี $r$ เเนบใน หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่น้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$5.$ พิจารณา $\triangle$ ที่เเนบในวงกลมรัศมี $ r $ หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่มากที่สุด เเละพิสูจน์

ข้อ 2 ใช่ จุดเซนทรอยด์หรือเปล่าครับ :rolleyes:

พิสูจน์ ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ ให้จุด $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), P(x, y)$

ผมยังไม่เข้าใจเรื่องเรขาวิเคราะห์เลยครับ

- ข้อ 1 คือจุด Fermat point

- ข้อ 2 มีเอกลักษณ์ตัวนึงที่น่าสนใจนะครับคือ $PA^2+PB^2+PC^2 = GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ โดยที่ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์
วิธีในการพิสูจน์จะใช้ Stewart's theorem ในการพิสูจน์ โดยลองสังเกตจุดกึ่งกลางของแต่ละด้าน และลองหาความสัมพันธ์บางอย่างดู

- ข้อ 4 คำตอบคือ $3\sqrt{3}r^2$
จากความสัมพันธ์ที่ว่า $r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ พอใช้ความจริงจาก AM-GM จะได้ว่า $(s-a)(s-b)(s-c) \le \frac{s^3}{27}$ นั่นหมายความว่า $\boxed{s \ge 3\sqrt{3}r}$
คราวนี้มาดูที่จากความจริงว่าพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\boxed{rs\ge 3\sqrt{3}r^2}$ โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

อ่าจากหนังสือแบบเรียนใอปลายเลยครับ บทนี้เนื้อหาน้อย

ขอบคุณทุกคนครับ

ผมอ่าน Fermat Point มันไม่มีพิสูจน์อ่ะครับ ช่วยทำให้หน่อย ผมอยากได้แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นๆด้วยน่ะครับ

แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นนี่คือยังไงอะครับ :confused: ที่ผมมีอยู่ตอนนี้ก็มีหลายแบบนะแต่ขอยกซักตัวอย่างนึงที่ผมชอบมากที่สุดละกัน

ขอเรียกจุด $F$ แทนจุด Fermat-Torricelli's point
พิจารณาจุด $P$ ดังภาพ เราจะหมุนจุด $A$ และจุด $P$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 60 องศา โดยมีจุด $B$ เป็นจุดศูนย์กลางการหมุน ก็จะได้ตามภาพ

ผมจะให้สีแดง เขียว ฟ้าที่เหมือนกันแทนความยาวด้านที่เท่ากัน ($PA=P'A'$ และ $PB=PB'$ นั่นก็มาจากการหมุนไม่ได้เปลี่ยนความยาวของเส้น และจาก $PB=PB'$ และ $\angle PBP'=60^\circ$ ก็ได้อีกว่า $\bigtriangleup PBP'$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) ดังนั้น $PA+PB+PC=P'A'+PP'+CP \ge CC' = FA+FB+FC$ (สมการสุดท้ายเป็นจริงก็เพราะว่าจุด $F$ อยุ่บนเส้นตรง $A'C$ อยู่ละ แล้วตอนที่หมุนจุด $F$ มาเป็นจุด $F'$ จุดนั้นมันอยู่บนเส้น $A'C$ พอดี ตรงนี้พิสูจน์ไม่ยากครับลองดูการหมุนรูปดูครับ)

ข้อ1ถ้ามองเป็นคำถามในเชิงเศรษฐศาสตร์ได้นะครับ เช่นการจัดสรรปันส่วนผลประโยชน์สามฝ่าย คือถ้าเราเอาประโยชน์เฉพาะแต่ละฝ่าย เป็นที่ตั้งแน่นอนส่วนรวมย่อมเสียประโยชน์มาก แต่ถ้ามีการร่วมมือกันบางส่วนฝ่ายที่ร่วมมือกันได้ประโยชน์มาก ฝ่ายที่เหลือเสียประโยชน์และส่วนรวมก็อาจได้ประโยชน์แต่ไม่มาก และถ้าจะให้แต่ละฝ่ายได้ประโยชน์เท่ากัน ส่วนรวมก็จะได้ประโยชน์มากแต่ยังไม่ถึงกับมากที่สุด แต่จุดเฟอรแมทกับคู่หูของเขาบอกเราว่าส่วนรวมจะได้ประโยชน์สูงสุดไม่จำเป็นที่ทุกฝ่ายต้องได้ประโยชน์เท่ากันไม่เสียเปรียบกัน
....ในส่วนของคณิตศาสตร์คิดว่าน่าจะหาสมการพหุนามกำลังสามมาเป็นคำตอบได้นะครับสำหรับปัญหานี้

ขอข้อ 2 นิดนึงอย่างที่ผมเคยบอกไปว่ามีเอกลักษณ์ที่น่าสนใจ คือ $PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ เมื่อ $P$ เป็นจุดใดๆ บนสามเหลี่ยม $ABC$ และ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ แต่ผมยังไม่ได้พิสูจน์ เลยอยากขอมาพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ

ผมขอกำหนดเพิ่มอีกหน่อยก็คือให้ $M_A$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $BC$
จะเห็นว่าจากภาพ พิจารณา \begin{align*}PA^2+PB^2+PC^2 &= PA^2+2PM_A^2+2BM_A^2 & \text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PBC \cup M_A$)} \\&= 3(PG^2+GA\cdot GM_A)+2BM_A^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PAM_A \cup G$)} \\&= 3PG^2 +GA^2+2GM_A^2+2BM_A^2 &\text{(ใช้ความสัมพันธ์ของจุดเซนทรอยด์ที่ว่า $GA=2GM_A$)} \\&=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle GBC \cup M_A$)}\end{align*}
ตามต้องการ

พหุนามกำลังสามของสามเหลี่ยมในระนาบ
 

การหาจุดเฟอแมทที่ว่านี้อาจหาผ่านวิธีทางพืชคณิตได้ โดยใช้พหุนามกำลังสาม
เช่นถ้าให้สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาว 3,4และ5 หน่วยตามลำดับ
พหุนาม...$$x^3-\alpha x^2+\beta x-\gamma =0...\alpha, \beta ,\gamma \in R^+$$
โดยที่...$\alpha= \sqrt{25+12\sqrt{3} } ,\beta=8\sqrt{3}และ \gamma \approx 8.1673$
จะมีรากสมการเป็น ความยาวของส่วนของเส้นตรง$PA,PBและPCตามลำดับเมื่อPA+PB+PCมีค่าน้อยที่สุดและจุดPเป็นจุดภายในสามเหลี่ยม$

สำหรับสูตรในรูปแบบทั่วไปจะนำมาลงให้ในโอกาสต่อไปนะครับ