อสมการระดับยาก
 

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^2\geq a\sqrt{8b^2+c^2}+b\sqrt{8c^2+a^2}+c\sqrt{8a^2+b^2}$

ยากจริงๆด้วยครับ ยังไม่กล้าเอามานั่งคิดแบบจริงจัง กลัวจะติดลม ช่วงนี้มีอะไรให้ทำเยอะครับ มีใครจะโชว์ฝีมือบ้างมั้ยครับ

ยังคิดไม่ออกเลยครับ:sweat: ยังหาวิธีที่แน่นอนไม่ได้เลยครับมีคำแนะนำหรือ hint บ้างไหมครับ:please:

ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่ :sweat:
ช่วยตรวจสอบให้ด้วยนะครับ :p
จาก
\[(a+b+c)^4=\sum a^4+\sum_{sym} 4a^3b+6\sum a^2b^2+12\sum a^2bc \ ...(1)\]
และโดย AM-GM จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl} (\sum_{cyc} a\sqrt{8b^2+c^2})^2 &=& 9\sum a^2b^2+2\sum_{cyc} ab\sqrt{8b^2+c}\sqrt{8c^2+a} \\
&=& 9\sum a^2b^2 + 2\sum_{cyc} \sqrt{8ab^3+abc^2}\sqrt{8abc^2+a^3b} \\
&\leq& 9\sum a^2b^2 + \sum_{cyc} 8ab^3 + \sum_{cyc} a^3b +9 \sum a^2bc \ ...(2)
\end{array} \]
ที่เหลือก็ต้องพิสูจน์ว่า $(1)\geq (2)$ ซึ่งสมมูลกับ
\[ \begin{array}{rcl} \sum a^4 +3\sum_{cyc} a^3b - 4\sum_{cyc} ab^3 -3\sum a^2b^2 +3\sum a^2bc &\geq& 0 \\
\sum_{cyc} (a^2+b^2-c^2+2ab-ac-2bc)(a-b)(a-c) &\geq& 0
\end{array} \]
ซึ่งเป็นจริงตาม Vornicu-Schur inequality ครับ

Cauchy-schwarz $$(\sum_{cyc}a\sqrt{8b^2+c^2})^2 \leq \sum_{cyc}a(51a+100b+2c)\sum_{cyc}\frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c}=51(a+b+c)^2\sum_{cyc} \frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c}$$ It suffices to prove that
$$51\sum_{cyc}\frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c} \leq (a+b+c)^2$$
we can easily check this inequality. :D