โจทย์แก้เบื่อ ค่าต่ำสุด/สูงสุด
 

ว่างๆครับ เลยตั้งขึ้นมา ทุกข้อแก้แบบม.ต้นนะครับ (นั่นคือ ยังไม่สามารถใช้ AM-GM-HM , Cauchy ,....)
ทุกข้อกำหนด ให้ทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริงบวกนะครับ

1. จงหาค่าสูงสุดของ $-x^2+2x+1$

2. จงหาค่าต่ำสุดและสูงสุดของ $\sqrt{2000-x}+\sqrt{1000+x}$

3. ถ้า $x^2+y^2+z^2=12$ จงหาค่าสูงสุดของ $xyz$

4. ถ้า 35x+3y=1 จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{1}{x^2+y^2}$

5. ถ้า $xy+yz+zx=1$ จงหาค่าต่ำสุดของ x+y+z

6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{x}{y}+\frac{4y}{z}+\frac{9z}{w}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}$

เริ่มให้สองข้อละกันครับ

1. $-x^2+2x+1=2-(x-1)^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq 2$

2. $\sqrt{2000-x}+\sqrt{1000+x}=\sqrt{3000+2\sqrt{(2000-x)(1000+x)}}\geq\sqrt{3000}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{3000+2\sqrt{1500^2-(x-500)^2}}\leq\sqrt{6000}$

ได้ $\sqrt{2}$ รึเปล่าครับ

ทำไมต่ำจังเลยอ่ะครับ

$(y-z)^2\geq 0\Rightarrow yz\leq\dfrac{1}{2}(y^2+z^2)=\dfrac{1}{2}(12-x^2)$

$xyz\leq \dfrac{1}{2}(12x-x^3)$

$~~~~=\dfrac{1}{2}(16-16+12x-x^3)$

$~~~~=\dfrac{1}{2}[16-(x+4)(x-2)^2]$

$~~~~\leq 8$

$x^2+y^2=\Big(\dfrac{1-3y}{35}\Big)^2+y^2$

$~~~~~~~~~~=\dfrac{1234}{1225}(y-\dfrac{3}{1234})^2+\dfrac{1}{1234}$

$~~~~~~~~~~\geq \dfrac{1}{1234}$

$\therefore \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq 1234$

$x+y+z=\sqrt{3(xy+yz+zx)+\dfrac{1}{4}(2x-y-z)^2+\dfrac{3}{4}(y-z)^2}$

$~~~~~~~~~~~~~\geq\sqrt{3}$

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{4y}{z}+\dfrac{9z}{w}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{w}{z}$

$=12 + \Big(\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Big)^2+\Big(2\sqrt{\dfrac{y}{z}}-\sqrt{\dfrac{z}{y}}\Big)^2+\Big(3\sqrt{\dfrac{z}{w}}-\sqrt{\dfrac{w}{z}}\Big)^2$

$\geq 12$

วันนี้คุณnooonuii เล่นโซ้ยคนเดียวหมดเลย

กังเฟยย :great:

ต่อดีกว่า ข้อนี้ใช้แค่ความรู้ม.ต้นครับ ไม่ผิดกติกาแต่อย่างใด :cool:

7. จงหาค่าต่ำสุดของ $(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2$ เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

7.5 เปล่าครับ

ทำไมต่ำจังเลยอ่ะครับ

27 ครับ
เปลี่ยนใหม่ไวพรุ่งนี้สอบเสร็จจะมาโพสต์อีกประมาณ5-6ข้อ
วันนี้ไม่ค่อยว่างครับ

27 รึป่าว :aah:

ข้อ 7 มองไม่ออกเลยครับ ว่าจะเริ่มอย่างไร ลองกระจายแล้วจัดกลุ่ม ก็ไม่ได้ จับเท่ากับ 0 ก็ไม่ได้ 27 ช่วยแนะให้ด้วยครับ ชอบข้อนี้มาก